Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Grafik fungsi akar kuadrat. Lingkup dan plot"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Buku teks elektronik untuk buku teks Mordkovich A.G.
Buku kerja elektronik aljabar untuk kelas 8

Grafik fungsi akar kuadrat

Kawan, kita telah bertemu dengan konstruksi grafik fungsi, dan lebih dari sekali. Kami telah membangun set fungsi linier dan parabola. Secara umum, lebih mudah untuk menulis fungsi apa pun sebagai $y=f(x)$. Ini adalah persamaan dua variabel - untuk setiap nilai x, kita mendapatkan y. Setelah melakukan beberapa operasi f yang diberikan, kami memetakan himpunan semua kemungkinan x ke himpunan y. Sebagai fungsi f, kita dapat menulis hampir semua operasi matematika.

Biasanya, ketika merencanakan fungsi, kami menggunakan tabel di mana kami menuliskan nilai x dan y. Misalnya, untuk fungsi $y=5x^2$, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel berikut: Tandai titik yang diperoleh pada sistem koordinat Cartesian dan hubungkan dengan hati-hati dengan kurva mulus. Fungsi kami tidak terbatas. Hanya dengan titik-titik ini kita dapat mensubstitusi secara mutlak nilai x dari domain definisi yang diberikan, yaitu nilai x yang ekspresinya masuk akal.

Dalam salah satu pelajaran sebelumnya, kita mempelajari operasi baru untuk mengekstrak akar kuadrat. Timbul pertanyaan, dapatkah kita, menggunakan operasi ini, mengatur beberapa fungsi dan membangun grafiknya? Mari kita gunakan pandangan umum fungsi $y=f(x)$. Kami meninggalkan y dan x di tempatnya, dan alih-alih f kami memperkenalkan operasi akar kuadrat: $y=\sqrt(x)$.
Mengetahui operasi matematika, kami dapat mendefinisikan fungsinya.

Merencanakan Fungsi Akar Kuadrat

Mari kita plot fungsi ini. Berdasarkan definisi akar kuadrat, kita hanya dapat menghitungnya dari bilangan non-negatif, yaitu $x≥0$.
Mari kita buat tabel:
Mari kita tandai titik kita pada bidang koordinat.

Tetap bagi kita untuk menghubungkan poin yang diperoleh dengan hati-hati.

Kawan, perhatikan: jika grafik fungsi kita diputar ke samping, maka kita mendapatkan cabang kiri parabola. Faktanya, jika garis-garis dalam tabel nilai dipertukarkan (garis atas dengan bawah), maka kita mendapatkan nilai hanya untuk parabola.

Domain fungsi $y=\sqrt(x)$

Menggunakan grafik fungsi, sifat-sifatnya cukup mudah untuk dijelaskan.
1. Domain definisi: $$.
b) $$.

Keputusan.
Kita dapat memecahkan contoh kita dengan dua cara. Setiap huruf menggambarkan cara yang berbeda.

A) Mari kembali ke grafik fungsi yang dibangun di atas dan tandai titik-titik yang diperlukan dari segmen tersebut. Terlihat jelas bahwa untuk $x=9$ fungsinya lebih besar dari semua nilai lainnya. Oleh karena itu, ia mencapai nilai maksimumnya pada titik ini. Untuk $х=4$ nilai fungsi lebih rendah dari semua titik lainnya, yang berarti di sini adalah nilai terkecil.

$y_(paling)=\sqrt(9)=3$, $y_(paling)=\sqrt(4)=2$.

B) Kita tahu bahwa fungsi kita meningkat. Ini berarti bahwa setiap nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Nilai terbesar dan terkecil dicapai di ujung segmen:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Contoh 2
Selesaikan persamaan:

$\sqrt(x)=12-x$.

Keputusan.
Cara termudah adalah dengan memplot dua grafik fungsi dan menemukan titik potongnya.
Grafik tersebut dengan jelas menunjukkan titik potong dengan koordinat $(9;3)$. Jadi, $x=9$ adalah solusi dari persamaan kita.
Jawab: $x=9$.

Kawan, dapatkah kita yakin bahwa contoh ini tidak memiliki solusi lagi? Salah satu fungsi meningkat, yang lain menurun. Dalam kasus umum, mereka tidak memiliki titik yang sama, atau hanya berpotongan di satu titik.

Contoh 3

Plot dan baca grafik fungsi:

$\begin (cases) -x, x 9. \end (cases)$

Kita perlu membangun tiga grafik parsial fungsi, masing-masing pada intervalnya sendiri.

Mari kita jelaskan sifat-sifat fungsi kita:
1. Domain definisi: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ untuk $x=0$ dan $x=12$; $y>0$ untuk $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Fungsi menurun pada segmen $(-∞;0)U(9;+∞)$. Fungsi meningkat pada segmen $(0;9)$.
4. Fungsi tersebut kontinu pada seluruh domain definisi.
5. Tidak ada nilai maksimum atau minimum.
6. Rentang nilai: $(-∞;+∞)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi akar kuadrat pada segmen:
a) $$;
b) $$.
2. Selesaikan persamaan: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Plot dan baca grafik fungsi: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Bangun dan baca grafik fungsi: $y=\sqrt(-x)$.

Pelajaran dan presentasi tentang topik: "Fungsi daya. Akar kubik. Sifat akar kubik"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 9
Kompleks pendidikan 1C: "Masalah aljabar dengan parameter, nilai 9-11" Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.0"

Definisi fungsi pangkat - akar pangkat tiga

Kawan, kami terus mempelajari fungsi daya. Hari ini kita akan berbicara tentang Akar Kubus dari fungsi x.
Apa itu akar pangkat tiga?
Suatu bilangan y disebut akar pangkat tiga dari x (akar pangkat tiga) jika $y^3=x$ benar.
Mereka dilambangkan sebagai $\sqrt(x)$, di mana x adalah bilangan akar, 3 adalah eksponen.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Seperti yang kita lihat, akar pangkat tiga juga dapat diekstraksi dari bilangan negatif. Ternyata akar kita ada untuk semua angka.
Akar ketiga dari bilangan negatif sama dengan bilangan negatif. Ketika dinaikkan ke kekuatan ganjil, tanda itu dipertahankan, kekuatan ketiga ganjil.

Mari kita periksa persamaannya: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Misalkan $\sqrt((-x))=a$ dan $\sqrt(x)=b$. Mari kita naikkan kedua ekspresi ke kekuatan ketiga. $–x=a^3$ dan $x=b^3$. Kemudian $a^3=-b^3$ atau $a=-b$. Dalam notasi akar, kami memperoleh identitas yang diinginkan.

Sifat-sifat akar pangkat tiga

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Mari kita buktikan properti kedua. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Kami menemukan bahwa angka $\sqrt(\frac(a)(b))$ dalam kubus sama dengan $\frac(a)(b)$ dan kemudian sama dengan $\sqrt(\frac(a) (b))$, yang dan perlu dibuktikan.

Kawan, mari kita plot grafik fungsi kita.
1) Domain definisi adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsinya ganjil karena $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Selanjutnya, pertimbangkan fungsi kita untuk $x≥0$, lalu refleksikan grafik relatif terhadap titik asal.
3) Fungsi meningkat untuk $х≥0$. Untuk fungsi kami, nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar, yang berarti meningkat.
4) Fungsinya tidak dibatasi dari atas. Faktanya, dari jumlah besar yang sewenang-wenang, Anda dapat menghitung akar derajat ketiga, dan kita dapat naik hingga tak terhingga, menemukan nilai argumen yang semakin besar.
5) Untuk $x≥0$, nilai terkecil adalah 0. Properti ini jelas.
Mari kita buat grafik fungsi dengan titik-titik untuk x≥0.

Mari kita buat grafik fungsi kita di seluruh domain definisi. Ingat bahwa fungsi kita ganjil.

Properti fungsi:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsi ganjil.
3) Meningkat (-∞;+∞).
4) Tidak terbatas.
5) Tidak ada nilai minimum atau maksimum.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Cembung ke bawah sebesar (-∞;0), cembung ke atas sebesar (0;+∞).

Contoh penyelesaian fungsi pangkat

Contoh
1. Selesaikan persamaan $\sqrt(x)=x$.
Keputusan. Mari buat dua graf pada bidang koordinat yang sama $y=\sqrt(x)$ dan $y=x$.

Seperti yang Anda lihat, grafik kami berpotongan di tiga titik.
Jawaban: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Buatlah grafik fungsi tersebut. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Keputusan. Grafik kita diperoleh dari grafik fungsi $y=\sqrt(x)$, dengan menggeser dua satuan secara paralel ke kanan dan tiga satuan ke bawah.

3. Buat grafik fungsi dan bacalah. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Keputusan. Mari kita bangun dua grafik fungsi pada bidang koordinat yang sama, dengan mempertimbangkan kondisi kita. Untuk $х≥-1$ kami membuat grafik akar kubik, untuk $х≤-1$ grafik fungsi linier.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.
3) Berkurang sebesar (-∞;-1), bertambah (-1;+∞).
4) Tidak terbatas dari atas, terbatas dari bawah.
5) Tidak ada nilai maksimal. Nilai terkecil adalah minus satu.
6) Fungsi kontinu pada seluruh garis nyata.
7) E(y)= (-1;+∞).

Tugas untuk solusi independen

1. Selesaikan persamaan $\sqrt(x)=2-x$.
2. Gambarkan fungsi $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Buat grafik fungsi tersebut dan bacalah. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Sifat-sifat utama dari fungsi daya diberikan, termasuk rumus dan sifat-sifat akar. Turunan, integral, ekspansi dan representasi deret pangkat melalui bilangan kompleks dari fungsi daya disajikan.

Isi

Fungsi pangkat, y = x p , dengan eksponen p memiliki sifat-sifat berikut:
(1.1) didefinisikan dan kontinu di set
pada ,
pada ;
(1.2) memiliki banyak arti
pada ,
pada ;
(1.3) meningkat secara ketat pada ,
sangat menurun pada ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Bukti properti diberikan pada halaman " Fungsi daya (bukti kontinuitas dan properti) »

Akar - definisi, rumus, properti

Akar suatu bilangan x derajat n adalah bilangan yang dipangkatkan ke n menghasilkan x:
.
Di sini n = 2, 3, 4, ... adalah bilangan asli lebih dari satu.

Anda juga dapat mengatakan bahwa akar dari bilangan x derajat n adalah akar (yaitu, solusi) dari persamaan
.
Perhatikan bahwa fungsi adalah kebalikan dari fungsi .

Akar kuadrat dari x adalah akar pangkat 2: .
Akar pangkat tiga dari x adalah akar pangkat 3: .

Gelar genap

Untuk pangkat genap n = 2 m, akar didefinisikan untuk x 0 . Rumus yang sering digunakan berlaku untuk x positif dan negatif :
.
Untuk akar kuadrat:
.

Urutan operasi yang dilakukan penting di sini - yaitu, mengkuadratkan dilakukan terlebih dahulu, menghasilkan angka non-negatif, dan kemudian akar diekstraksi darinya (dari angka non-negatif, Anda dapat mengekstrak akar kuadrat ). Jika kita mengubah urutan: , maka untuk x negatif root akan menjadi tidak terdefinisi, dan dengan itu seluruh ekspresi akan menjadi tidak terdefinisi.

gelar ganjil

Untuk pangkat ganjil, akar didefinisikan untuk semua x:
;
.

Sifat dan rumus akar

Akar dari x adalah fungsi pangkat:
.
Untuk x 0 rumus berikut berlaku:
;
;
, ;
.

Rumus ini juga dapat diterapkan untuk nilai negatif dari variabel. Hanya perlu untuk memastikan bahwa ekspresi radikal dari kekuatan yang seimbang tidak negatif.

Nilai pribadi

Akar dari 0 adalah 0: .
Akar dari 1 adalah 1: .
Akar kuadrat dari 0 adalah 0: .
Akar kuadrat dari 1 adalah 1: .

Contoh. Akar dari akar

Perhatikan contoh akar kuadrat dari akar:
.
Ubah akar kuadrat internal menggunakan rumus di atas:
.
Sekarang mari kita ubah akar aslinya:
.
Jadi,
.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Berikut adalah grafik fungsi untuk nilai non-negatif dari argumen x. Grafik fungsi daya yang ditentukan untuk nilai negatif x diberikan pada halaman " Fungsi daya, sifat dan grafiknya »

Fungsi terbalik

Invers dari fungsi pangkat dengan eksponen p adalah fungsi pangkat dengan eksponen 1/p .

Jika kemudian .

Turunan fungsi daya

Turunan dari orde ke-n:
;

Turunan rumus > > >

Integral dari fungsi daya

P≠- 1 ;
.

Ekspansi seri daya

Pada - 1 < x < 1 dekomposisi berikut terjadi:

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi dari variabel kompleks z :
f (z) = z t.
Kami menyatakan variabel kompleks z dalam hal modulus r dan argumen (r = |z| ):
z = r e i .
Kami mewakili bilangan kompleks t sebagai bagian nyata dan imajiner:
t = p + i q .
Kita punya:

Selanjutnya, kami memperhitungkan bahwa argumen tidak didefinisikan secara unik:
,

Pertimbangkan kasus ketika q = 0 , yaitu, eksponen adalah bilangan real, t = p. Kemudian
.

Jika p bilangan bulat, maka kp juga bilangan bulat. Kemudian, karena periodisitas fungsi trigonometri:
.
Yaitu Fungsi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat, untuk z tertentu, hanya memiliki satu nilai dan karena itu bernilai tunggal.

Jika p irasional, maka hasil kali kp tidak memberikan bilangan bulat untuk sembarang k. Karena k berjalan melalui deret nilai tak terhingga k = 0, 1, 2, 3, ..., maka fungsi z p memiliki banyak nilai tak terhingga. Setiap kali argumen z bertambah 2 pi(satu putaran), kami pindah ke cabang fungsi yang baru.

Jika p rasional, maka dapat direpresentasikan sebagai:
, di mana M N adalah bilangan bulat tanpa pembagi persekutuan. Kemudian
.
Nilai n pertama, untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, diberikan arti yang berbeda kp :
.
Namun, nilai selanjutnya memberikan nilai yang berbeda dari yang sebelumnya dengan bilangan bulat. Misalnya, untuk k = k 0+n kita punya:
.
Fungsi trigonometri yang argumennya berbeda dengan kelipatan 2 pi, memiliki nilai yang sama. Oleh karena itu, dengan peningkatan k lebih lanjut, kami memperoleh nilai z p yang sama seperti untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Dengan demikian, fungsi eksponensial dengan eksponen rasional bernilai banyak dan memiliki n nilai (cabang). Setiap kali argumen z bertambah 2 pi(satu putaran), kami pindah ke cabang fungsi yang baru. Setelah n belokan seperti itu, kami kembali ke cabang pertama dari mana hitungan mundur dimulai.

Secara khusus, akar derajat n memiliki nilai n. Sebagai contoh, perhatikan akar ke-n dari bilangan real positif z = x. Dalam hal ini 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Jadi, untuk akar kuadrat, n = 2 ,
.
Untuk genap k, (- 1 ) k = 1. Untuk k ganjil, (- 1 ) k = - 1.
Artinya, akar kuadrat memiliki dua arti: + dan -.

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Lihat juga:

Apakah Anda mencari x akar x sama dengan? . Solusi terperinci dengan deskripsi dan penjelasan akan membantu Anda menangani tugas yang paling sulit sekalipun, dan x adalah akar dari y, tidak terkecuali. Kami akan membantu Anda mempersiapkan pekerjaan rumah, ujian, olimpiade, serta untuk masuk ke universitas. Dan apa pun contohnya, apa pun kueri matematika yang Anda masukkan, kami sudah punya solusinya. Misalnya, "x adalah akar dari x".

Aplikasi dari berbagai Soal matematika, kalkulator, persamaan dan fungsi tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Matematika telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Namun, kini sains tidak tinggal diam dan kita bisa menikmati buah dari aktivitasnya, seperti misalnya kalkulator online yang bisa menyelesaikan soal seperti x akar x sama dengan x akar y, akar x, akar dari x adalah x, akar dari x adalah x, akar dari x adalah x, fungsi y adalah akar dari minus x, fungsi dari y adalah akar dari dikurangi akar x,x y,x akar dari x sama. Di halaman ini Anda akan menemukan kalkulator yang akan membantu menyelesaikan pertanyaan apa pun, termasuk x adalah akar dari x sama dengan. (misalnya, akar dari x).

Di mana saya dapat memecahkan masalah dalam matematika, serta x akar dari x Online?

Anda dapat menyelesaikan masalah x akar x secara merata di situs web kami. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk memecahkan masalah online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara memasukkan tugas Anda dengan benar di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di obrolan di kiri bawah halaman kalkulator.