Geser 19

menurun secara monoton pada R Sumbu x adalah asimtot horizontal yang meningkat secara monoton pada R 8. Untuk setiap nilai nyata x dan y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asimtot 6. Ekstrem 5. Monotonisitas 4. Kemerataan, keganjilan 3. Interval perbandingan nilai suatu fungsi dengan satu 2. Jangkauan nilai suatu fungsi tidak memiliki ekstrem Fungsi tersebut tidak genap maupun ganjil (umum fungsi).

Geser 20

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya Tugas nomor 1 Temukan domain dari fungsi

geser 21

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya Tugas nomor 2 Tentukan nilainya

geser 22

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya Tugas 3 Menentukan jenis fungsi meningkat menurun menurun

geser 23

Pengenalan pengetahuan baru

geser 24

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya DEFINISI pertidaksamaan eksponensial paling sederhana: Misalkan a adalah bilangan positif tertentu yang tidak sama dengan satu dan b adalah bilangan real tertentu. Maka pertidaksamaan ax>b (ax≥b) dan ax

Geser 25

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya Penyelesaian pertidaksamaan dengan x yang tidak diketahui adalah bilangan x0, dengan mensubstitusikannya ke dalam pertidaksamaan, diperoleh pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

geser 26

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya APA ARTINYA menyelesaikan pertidaksamaan? Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menunjukkan bahwa tidak ada solusi.

Geser 27

Perhatikan posisi relatif grafik fungsi y=ax, a>0, a≠1 dan garis lurus y=b Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan cara penyelesaiannya y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0

Geser 28

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya terletak di bawah kurva y=ax, sehingga pertidaksamaan ax>b(ax≥b) berlaku untuk xR, dan pertidaksamaan ax

Geser 29

KESIMPULAN 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan cara penyelesaiannya Jika a>1 dan b > 0, maka untuk setiap x1 x0- di bawah garis y=b. 1 Untuk b > 0, garis y = b memotong grafik fungsi y= ax di satu titik, yang absisnya adalah x0 = logab

geser 30

KESIMPULAN 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya masing-masing x2 0, garis y = b memotong grafik fungsi y= ax di satu titik , absisnya adalah x0 = logab x2

Geser 31

Pertidaksamaan eksponensial paling sederhana Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya

geser 32

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Contoh No. 1.1 Jawaban: bertambah di seluruh domain definisi, Solusi:

Geser 33

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Contoh No. 1.2 Solusi: Jawaban: menurun di seluruh domain definisi,

geser 34

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya Contoh No. 1.3 Solusi: Jawaban: meningkat di seluruh domain definisi,

Geser 35

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode untuk menyelesaikannya Jenis pertidaksamaan eksponensial dan metode untuk menyelesaikannya

geser 36

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Contoh No. 1.4 Solusi: bertambah di seluruh domain definisi, Jawaban:

Geser 37

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya

Geser 38

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Jenis pertidaksamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya 2) Pertidaksamaan eksponensial yang direduksi menjadi pertidaksamaan kuadrat

Geser 39

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Jenis pertidaksamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya 3) Pertidaksamaan eksponensial homogen derajat pertama dan kedua. Pertidaksamaan eksponensial homogen tingkat pertama Contoh No. 1 meningkat di seluruh domain definisi Jawaban: Solusi:

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Jenis pertidaksamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya 4) Pertidaksamaan eksponensial yang direduksi menjadi pertidaksamaan rasional

geser 43

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Jenis pertidaksamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya 5) Pertidaksamaan tak baku eksponensial Contoh Solusi: Selesaikan setiap pernyataan himpunan secara terpisah. Ketimpangan sama dengan agregat

Geser 44

Pertidaksamaan eksponensial, jenisnya dan metode penyelesaiannya Jenis pertidaksamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya bukan merupakan solusi persamaan. Jadi,

Geser 45

Konsolidasi pengetahuan

Pertidaksamaan apa yang disebut eksponensial? Kapan pertidaksamaan eksponensial memiliki solusi untuk setiap nilai x? Kapan pertidaksamaan eksponensial tidak memiliki solusi? Apa jenis ketidaksetaraan yang Anda pelajari dalam pelajaran ini? Bagaimana pertidaksamaan sederhana diselesaikan? Bagaimana ketidaksetaraan direduksi menjadi kuadrat diselesaikan? Bagaimana pertidaksamaan homogen diselesaikan? Bagaimana ketidaksetaraan direduksi menjadi yang rasional diselesaikan?

Geser 46

Ringkasan pelajaran

Cari tahu apa yang telah dipelajari siswa dalam pelajaran ini Berikan nilai kepada siswa untuk pekerjaan dalam pelajaran dengan komentar terperinci

Geser 47

Pekerjaan rumah

Buku teks untuk kelas 10 "Aljabar dan awal analisis" Penulis S.M. Nikolsky Untuk mempelajari paragraf 6.4 dan 6.6, No. 6.31-6.35 dan No. 6.45-6.50 memecahkan

Geser 48

Pertidaksamaan eksponensial, jenis dan metode penyelesaiannya

Topik 6. Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma (11 jam)
Topik pelajaran. Pertidaksamaan yang direduksi menjadi yang paling sederhana dengan mengganti yang tidak diketahui.
Tujuan pelajaran: Untuk membentuk keterampilan memecahkan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma, dengan mengurangi ke yang paling sederhana, dengan mengganti yang tidak diketahui.
Tugas:
Pendidikan: ulangi dan konsolidasikan pengetahuan tentang topik "menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma paling sederhana", pelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik dan eksponensial dengan metode penggantian.
Mengembangkan: membentuk kemampuan siswa untuk membedakan dua jenis pertidaksamaan dan menentukan cara untuk menyelesaikannya (berpikir logis dan intuitif, pembuktian penilaian, klasifikasi, perbandingan), membentuk keterampilan pengendalian diri dan pemeriksaan diri, kemampuan bergerak sesuai dengan algoritma yang diberikan, evaluasi dan perbaiki hasilnya.
Pendidikan: untuk melanjutkan pembentukan kualitas siswa seperti: kemampuan untuk mendengarkan satu sama lain; kemampuan untuk melakukan saling kontrol dan penilaian diri.
Jenis pelajaran: gabungan.
Buku Ajar Aljabar Kelas 10 S.M. Nikolay, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
Selama kelas
Mengatur waktu.
Memeriksa pekerjaan rumah.
Memperbarui pengetahuan dasar.
Frontal:
1. Pertidaksamaan apa yang disebut pertidaksamaan eksponensial paling sederhana?
2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana.
3. Pertidaksamaan apa yang disebut pertidaksamaan logaritma paling sederhana?
4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan penyelesaian pertidaksamaan logaritma paling sederhana.
Dengan catatan di papan tulis (masing-masing 1 siswa):
Memecahkan ketidaksetaraan
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Penjelasan materi baru dan konsolidasi bertahapnya.
1.1. Penjelasan materi baru.
1. Selesaikan pertidaksamaan:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, maka
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Kami tertarik pada tanda "−−". Kemudian kami mendapatkan
Jawaban:x∈(1;2)
2. Selesaikan pertidaksamaan

1.2. Penguatan langkah demi langkah.
6.49(a,c).
6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Jawaban: -∞; 1∪54; + v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Jawaban: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Jawaban: -2;-1∪3;42.1. Penjelasan materi baru.
3. Selesaikan pertidaksamaan

Kemudian 1 pertidaksamaan masuk akal untuk semua x, dan yang kedua

2.2. Penguatan langkah demi langkah.
Selesaikan pertidaksamaan #6.56(c)
3.1. Penjelasan materi baru.
4. Selesaikan pertidaksamaan

3.2. Penguatan langkah demi langkah.
Selesaikan pertidaksamaan #6.60(a)
Menyimpulkan pelajaran.
Cerminan.
Pekerjaan rumah.
H.6.6
6.49 (b, d)
6.52 (a, b)
6.56 (e)
6.60 (b)

File-file terlampir

Tempat kerja, posisi: — MOU-SOSH r.p. Pushkino, guru

Wilayah: — Wilayah Saratov

Karakteristik pelajaran (kelas) Tingkat pendidikan: - pendidikan menengah (lengkap) umum

Target audiens: – Mahasiswa (mahasiswa)
Target audiens: – Guru (guru)

Kelas: – Kelas 10

Subjek: – Aljabar

Tujuan pelajaran: - didaktik: untuk meningkatkan teknik dan metode dasar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dan eksponensial dan untuk memastikan bahwa semua siswa menguasai metode algoritmik dasar untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik; mengembangkan: mengembangkan pemikiran logis, memori, minat kognitif, melanjutkan pembentukan pidato matematika, mengembangkan kemampuan menganalisis dan membandingkan; pendidikan: untuk membiasakan desain estetika catatan di buku catatan, kemampuan untuk mendengarkan orang lain dan kemampuan untuk berkomunikasi, menanamkan akurasi dan ketekunan.

Jenis pelajaran: - Pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan

Siswa di kelas (penonton): - 25

Deskripsi singkat: - Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial dan logaritma dianggap sebagai salah satu topik tersulit dalam matematika dan menuntut siswa untuk memiliki pengetahuan teoretis yang baik, kemampuan untuk menerapkannya dalam praktik, membutuhkan perhatian, ketekunan, dan kecerdasan cepat. Topik yang dibahas dalam pelajaran juga disampaikan untuk ujian masuk universitas dan ujian akhir. Jenis pelajaran ini mengembangkan pemikiran logis, memori, minat kognitif, berkontribusi pada pengembangan kemampuan menganalisis, membandingkan, dan mendengarkan orang lain.

Tahapan pelajaran dan isinya

Waktu

(menit)

aktivitas

guru

murid

1. Tahap organisasi

organisasi

Melaporkan absen.

2. Penetapan tujuan

Hari ini dalam pelajaran kita akan terus mengerjakan metode dan metode dasar yang dipelajari untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma, dan juga mempertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik dan eksponensial: ini adalah transisi ke pertidaksamaan rasional dengan mengganti yang tidak diketahui dan juga cara membagi kedua bagian pertidaksamaan dengan bilangan positif.

Menginformasikan topik pelajaran, tanggal pelajaran, tujuan pelajaran

Tulis di buku catatan

3.Memeriksa pekerjaan rumah

Atas permintaan siswa, memanggil 3 orang ke dewan, secara paralel melakukan percakapan frontal tentang masalah teoretis

Empat orang bekerja di papan tulis, sisanya mengikuti survei teoretis

Di rumah, Anda diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dan eksponensial pada dua tingkat kerumitan. Mari kita lihat solusi dari beberapa di antaranya

6.49(a); 6,52(d) 6,56(b), 6,54(b).

4.Memperbarui pengetahuan siswa

Mari kita ingat metode apa yang kita bahas dalam pelajaran terakhir.

Hari ini kita akan mempertimbangkan ketidaksetaraan, yang, setelah pengenalan baru yang tidak diketahui, berubah menjadi ketidaksetaraan rasional.

Untuk melakukannya, ingat apa solusi dari pertidaksamaan rasional bentuk A(x) / B(x)>0? Metode apa yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional?

5. Meningkatkan pengetahuan dan keterampilan siswa

xx

Contoh1)2 - 9 / (2 -1)0

3 menit

x +0.5xx +0.5

3). 25- 710+4>0

3 menit

5). Memperbaiki yang baru.

Melakukan latihan di papan

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -di papan 6.62(c)

Mengarahkan pada pilihan metode solusi rasional. memantau literasi penalaran dan pencatatan yang benar dari solusi ketidaksetaraan. Memberikan perkiraan untuk pekerjaan

Seorang siswa memutuskan di papan tulis. Sisanya tuliskan solusinya di buku catatan.

6) Pekerjaan mandiri yang dibedakan (Tugas di layar)

tingkat 1:

1 opsi 2 opsi

6.48(b); No.6.48(e);

6.58 (a) ; No. 6.58 (c)

tingkat 2:

1 opsi 2 opsi

6.61(b);No.6.61(d);

6.62 (c); No. 6.62 (g).

5 menit

2 orang bekerja secara individu di papan samping. Sisanya melakukan pekerjaan mandiri multi-level di lapangan.

7) Pemeriksaan pekerjaan sendiri

3 menit

8) Pekerjaan Rumah (di layar)

Tingkat 1 hal.6.6; No. 6.48 (a.); No. 6.57 (1 artikel); No. 6.50 (a).

Tingkat 2: hal.6.6;No. 6.59(c); 6.62 (a); No. 158 (hal. 382); No. 168 (a, b) (hal. 383)

2 menit

Menjelaskan pekerjaan rumah, menarik perhatian siswa pada fakta bahwa tugas serupa diselesaikan di kelas.

Dua tugas terakhir ditawarkan saat masuk ke Universitas Negeri Moskow dan MTITF.

Setelah mendengarkan guru dengan seksama, tuliskan pekerjaan rumah. Tingkat kesulitan dipilih sendiri.

8) Menyimpulkan pelajaran: Memecahkan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma dianggap sebagai salah satu topik yang sulit dari kursus matematika sekolah dan menuntut siswa untuk memiliki pengetahuan teoritis yang baik, kemampuan untuk menerapkannya dalam praktik, membutuhkan perhatian, ketekunan, kecerdasan cepat, itu karena alasan inilah ketidaksetaraan yang dipertimbangkan dalam pelajaran diajukan ke ujian pengantar untuk universitas dan ujian akhir. Hari ini di pelajaran semua orang bekerja dengan sangat baik dan menerima nilai berikut

Terimakasih untuk semua.

2 menit

File:
Ukuran file: 6789120 byte.

Banyak orang berpikir bahwa ketidaksetaraan eksponensial adalah sesuatu yang begitu rumit dan tidak dapat dipahami. Dan belajar untuk menyelesaikannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Yang Terpilih ...

Benar-benar omong kosong! Pertidaksamaan eksponensial itu mudah. Dan mereka selalu mudah untuk dipecahkan. Yah, hampir selalu. :)

Hari ini kita akan menganalisis topik ini jauh dan luas. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan tugas-tugas sederhana dan beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tidak akan ada kekerasan hari ini, tetapi apa yang akan Anda baca akan cukup untuk memecahkan sebagian besar ketidaksetaraan dalam semua jenis kontrol dan pekerjaan mandiri. Dan ini ujianmu juga.

Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang memiliki fungsi eksponensial. Dengan kata lain, itu selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk

\[((a)^(x)) \gt b\]

Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin sesuatu yang lebih keras. Contohnya? Ya silahkan:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\akhir(sejajarkan)\]

Saya pikir artinya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, itu dibandingkan dengan sesuatu, dan kemudian diminta untuk menemukan $x$. Dalam kasus klinis khususnya, alih-alih variabel $x$, mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian memperumit ketidaksetaraan sedikit. :)

Tentu saja, dalam beberapa kasus, ketidaksetaraan mungkin terlihat lebih parah. Sebagai contoh:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Atau bahkan ini:

Secara umum, kompleksitas ketidaksetaraan tersebut bisa sangat berbeda, tetapi pada akhirnya mereka masih bermuara pada konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan kami entah bagaimana akan berurusan dengan desain seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kami). Oleh karena itu, sekarang kita akan belajar bagaimana menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.

Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana

Mari kita lihat sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini dia:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Jelas, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Dengan demikian, ketidaksetaraan asli ditulis ulang dalam bentuk yang sangat nyaman:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Dan sekarang tangan gatal untuk "mencoret" deuces, berdiri di dasar derajat, untuk mendapatkan jawaban $x \gt 2$. Tapi sebelum kita mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Seperti yang Anda lihat, semakin besar angka dalam eksponen, semakin besar angka keluarannya. "Terima kasih, Cap!" seru salah satu siswa. Apakah itu terjadi secara berbeda? Sayangnya, itu terjadi. Sebagai contoh:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin banyak angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu, dibagi dua). Dengan demikian, barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:

• Jika pangkat $a \gt 1$, maka dengan bertambahnya pangkat $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
• Sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka dengan bertambahnya pangkat $n$, angka $((a)^(n))$ akan berkurang.

Menyimpulkan fakta-fakta ini, kita mendapatkan pernyataan yang paling penting, yang menjadi dasar seluruh solusi pertidaksamaan eksponensial:

Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ sama dengan pertidaksamaan $x \lt n$.

Dengan kata lain, jika basis lebih besar dari satu, Anda cukup menghapusnya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika basisnya kurang dari satu, maka itu juga bisa dihilangkan, tetapi tanda ketidaksetaraan juga harus diubah.

Perhatikan bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini ada ketidakpastian. Misalkan bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Satu untuk kekuatan apa pun akan kembali memberikan satu - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.

Dengan basis negatif, itu bahkan lebih menarik. Perhatikan, misalnya, pertidaksamaan berikut:

\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]

Pada pandangan pertama, semuanya sederhana:

Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil sebagai ganti $x$ untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah kanan ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi masih ada pecahan derajat dan timah lainnya. Bagaimana, misalnya, Anda memesan untuk menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurangi dua dipangkatkan ke akar tujuh)? Tidak mungkin!

Oleh karena itu, untuk kepastian, kita asumsikan bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaan) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\end(sejajarkan) \kanan.\]

Secara umum, sekali lagi ingat aturan utama: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghapusnya; dan jika alasnya kurang dari satu, itu juga bisa dihilangkan, tetapi ini akan mengubah tanda pertidaksamaan.

Contoh solusi

Jadi, pertimbangkan beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\akhir(sejajarkan)\]

Tugas utama adalah sama dalam semua kasus: untuk mengurangi ketidaksetaraan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap ketidaksetaraan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat pangkat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Apa yang bisa dilakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi demonstratif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar di penyebutnya!

Namun, ingat aturan untuk bekerja dengan pecahan dan kekuatan:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\akhir(sejajarkan)\]

Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menyingkirkan pecahan dengan mengubahnya menjadi eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebutnya adalah akarnya, akan lebih baik untuk mengubahnya menjadi derajat - kali ini dengan eksponen pecahan.

Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan ketidaksetaraan dan lihat apa yang terjadi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Jangan lupa bahwa ketika menaikkan derajat ke pangkat, eksponen derajat ini ditambahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial, sangat penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan kekuatan:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Sebenarnya, kami baru saja menerapkan aturan terakhir. Oleh karena itu, ketidaksetaraan asli kami akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sekarang kita singkirkan deuce di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan tetap sama:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\di \left(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]

Itulah seluruh solusi! Kesulitan utama sama sekali bukan dalam fungsi eksponensial, tetapi dalam transformasi yang kompeten dari ekspresi asli: Anda harus dengan hati-hati dan secepat mungkin membawanya ke bentuknya yang paling sederhana.

Perhatikan pertidaksamaan kedua:

\[(((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

baik baik. Di sini kita sedang menunggu pecahan desimal. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan kekuatan, Anda harus menyingkirkan pecahan desimal - seringkali ini adalah satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan mudah. Inilah yang akan kita singkirkan:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Di depan kita lagi-lagi ketidaksetaraan paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kami menghapus pangkalan, secara bersamaan mengubah tanda dari "kurang" menjadi "lebih besar", dan kami mendapatkan:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Kami mendapat jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap dicatat bahwa jawabannya adalah himpunan, dan tidak ada konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal konstruksi seperti itu bukanlah suatu himpunan sama sekali, tetapi suatu pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, itu sangat sederhana, tetapi bukan itu jawabannya!

Catatan penting. Ketidaksetaraan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mengurangi kedua bagian menjadi pangkat dengan basis lebih besar dari satu. Lihatlah:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah kanan ((\left(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Setelah transformasi seperti itu, kita kembali mendapatkan pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Dan ini berarti Anda cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari kebutuhan untuk mengubah tanda dan umumnya mengingat beberapa aturan di sana. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Namun, jangan biarkan hal itu membuat Anda takut. Apa pun indikatornya, teknologi untuk mengatasi ketimpangan itu sendiri tetap sama. Oleh karena itu, kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4 . Mari kita tulis ulang ketidaksetaraan asli dengan mempertimbangkan fakta ini:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hore! Kami mendapatkan ketidaksetaraan kuadrat biasa! Tanda tidak berubah di mana pun, karena alasnya adalah deuce - angka yang lebih besar dari satu.

Fungsi nol pada garis bilangan

Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, jadi akan ada “plus ” di samping. Kami tertarik pada wilayah di mana fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.

Akhirnya, pertimbangkan ketidaksetaraan lain:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di basis. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(align)\]

Dalam hal ini, kami memanfaatkan komentar yang dibuat sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5\u003e 1 untuk menyederhanakan keputusan kami selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Mari kita tulis ulang ketidaksetaraan asli, dengan mempertimbangkan kedua transformasi:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah kanan ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]

Basis pada kedua sisi sama dan lebih besar dari satu. Tidak ada istilah lain di kanan dan kiri, jadi kami hanya "mencoret" lima dan kami mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Di sinilah Anda harus berhati-hati. Banyak siswa suka mengambil akar kuadrat dari kedua ruas pertidaksamaan dan menulis sesuatu seperti $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Anda tidak boleh melakukan ini, karena akar kuadrat yang tepat adalah modulus, dan tidak berarti variabel asli:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\kanan|\]

Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$

Sekali lagi, kami menandai poin yang diperoleh pada garis bilangan dan melihat tanda-tandanya:

Karena kami menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukan interval, tetapi segmen.

Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam pertidaksamaan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini bermuara pada algoritma sederhana:

• Temukan basis di mana kita akan mengurangi semua derajat;
• Lakukan transformasi dengan cermat untuk mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, alih-alih variabel $x$ dan $n$, ada fungsi yang jauh lebih kompleks, tetapi ini tidak mengubah artinya;
• Coret dasar derajat. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.

Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan diberitahukan kepada Anda tentang topik ini hanyalah trik dan trik khusus untuk menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Inilah salah satu trik yang akan kita bicarakan sekarang. :)

metode rasionalisasi

Pertimbangkan kumpulan ketidaksetaraan lain:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Nah, apa yang spesial dari mereka? Mereka juga ringan. Meskipun, berhenti! Apakah pi dipangkatkan? Omong kosong macam apa?

Dan bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penyusun masalah jelas minum terlalu banyak "Hawthorn" sebelum duduk untuk bekerja. :)

Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Biarkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi dari bentuk $((a)^(x))$, di mana basis $a$ adalah bilangan positif apa pun, kecuali satu. Angka positif - kita sudah tahu ini. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika kita membandingkannya dengan nol.

Ternyata semua ketidaksetaraan yang “mengerikan” ini tidak berbeda dengan yang sederhana yang dibahas di atas? Dan mereka melakukannya dengan cara yang sama? Ya, benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan satu trik yang menghemat banyak waktu untuk pekerjaan mandiri dan ujian. Kami akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi perhatian:

Pertidaksamaan eksponensial dalam bentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ setara dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.

Itulah seluruh metode. :) Apakah Anda berpikir bahwa akan ada semacam permainan berikutnya? Tidak ada yang seperti ini! Tetapi fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Di sini tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Tapi masalah baru muncul: apa yang harus dilakukan dengan pengali sialan \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kami tidak tahu apa nilai pasti dari pi. Namun, kapten tampaknya mengisyaratkan yang sudah jelas:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah kanan \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Secara umum, nilai eksak dari tidak terlalu mengganggu kita - hanya penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan itu:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, pada titik tertentu, kami harus membagi dengan minus satu, dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat sesuai dengan teorema Vieta - jelas bahwa akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=- 1$. Kemudian semuanya diselesaikan dengan metode interval klasik:

Semua poin tertusuk karena ketidaksetaraan asli ketat. Kami tertarik pada area dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itu solusinya. :)

Mari kita beralih ke tugas berikutnya:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Semuanya sederhana di sini, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satuan adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan ke nol. Bahkan jika angka ini adalah ekspresi irasional, berdiri di pangkalan di sebelah kiri:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\kanan))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\akhir(sejajarkan)\]

Jadi mari kita rasionalkan:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tetap hanya berurusan dengan tanda-tanda. Pengganda $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - itu hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tahu tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]

Ternyata faktor kedua bukan hanya konstanta, tetapi konstanta negatif! Dan saat membaginya, tanda pertidaksamaan asli akan berubah menjadi kebalikannya:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Sekarang semuanya menjadi sangat jelas. Akar-akar trinomial kuadrat di sebelah kanan adalah $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kami menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Tetap hanya untuk menuliskan jawabannya:

Mari kita beralih ke contoh berikutnya:

\[((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]

Nah, semuanya cukup jelas di sini: basis adalah kekuatan dari nomor yang sama. Karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matriks)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x\kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, dalam proses transformasi, kami harus mengalikan dengan angka negatif, sehingga tanda pertidaksamaan berubah. Di bagian paling akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial persegi. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - mereka yang ingin dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik dan menghitung tanda. Sementara itu, kita akan beralih ke pertidaksamaan terakhir dari "set" kita:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Seperti yang Anda lihat, basis sekali lagi merupakan bilangan irasional, dan satuannya lagi di sebelah kanan. Oleh karena itu, kami menulis ulang ketidaksetaraan eksponensial kami sebagai berikut:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]

Mari kita rasionalkan:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua lagi-lagi merupakan konstanta negatif, yang dengannya kedua bagian pertidaksamaan dapat dibagi:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\akhir(matriks)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Ubah ke pangkalan lain

Masalah terpisah dalam memecahkan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian dasar yang "benar". Sayangnya, pada pandangan pertama pada tugas, jauh dari selalu jelas apa yang harus diambil sebagai dasar, dan apa yang harus dilakukan sebagai tingkat dasar ini.

Tapi jangan khawatir: tidak ada teknologi ajaib dan "rahasia" di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini, Anda harus memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang berbeda. Misalnya, ini adalah:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir (sejajarkan)\]

Sulit? Menakutkan? Ya, itu lebih mudah daripada ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Yah, saya pikir semuanya sudah jelas di sini:

Kami menulis ulang ketidaksetaraan asli, mengurangi semuanya menjadi basis "dua":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]

Ya, ya, Anda mengerti dengan benar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita mendapatkan ketidaksetaraan fraksional-rasional (ini adalah yang memiliki variabel dalam penyebut), jadi sebelum menyamakan sesuatu menjadi nol, Anda perlu mengurangi semuanya menjadi penyebut yang sama dan menyingkirkan faktor konstanta .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sekarang kita menggunakan metode interval standar. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebut menjadi nol hanya jika $x=0$. Secara total, ada tiga titik yang harus ditandai pada garis bilangan (semua titik dicoret, karena tanda pertidaksamaan ketat). Kita mendapatkan:

Seperti yang Anda duga, penetasan menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri mengambil nilai negatif. Oleh karena itu, dua interval akan masuk ke jawaban akhir sekaligus:

Ujung interval tidak termasuk dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya ketat. Tidak diperlukan validasi lebih lanjut dari jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada DPV, tidak ada batasan, dll.

Mari kita beralih ke tugas berikutnya:

\[((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah tahu bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, jadi seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kiri(-2\kanan)\kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Harap dicatat: di baris ketiga, saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan deuce dikurangi dengan pengganda konstan. Inilah tepatnya yang harus Anda lakukan saat membuat perhitungan nyata untuk pekerjaan independen dan kontrol - Anda tidak perlu melukis setiap tindakan dan transformasi secara langsung.

Selanjutnya, metode interval yang sudah dikenal ikut bermain. Nol pembilang: tetapi tidak ada. Karena diskriminan akan negatif. Pada gilirannya, penyebut disetel ke nol hanya ketika $x=0$ — seperti terakhir kali. Nah, jelas bahwa pecahan akan mengambil nilai positif di sebelah kanan $x=0$, dan yang negatif di sebelah kiri. Karena kita hanya tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]

Dan apa yang harus dilakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Itu benar: singkirkan mereka dengan mengubahnya menjadi yang biasa. Berikut kami terjemahkan:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah kanan ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25)(4) \kanan))^(x)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Nah, apa yang kita dapatkan di basis fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling timbal balik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]

Dengan demikian, pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\akhir(sejajarkan)\]

Tentu saja, ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah, yang terjadi di baris kedua. Selain itu, kami telah mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Tetap hanya untuk merasionalisasi:

\[((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, mis. faktor kedua adalah konstanta negatif, dan ketika dibagi dengannya, tanda pertidaksamaan akan berubah:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\di \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Akhirnya, ketidaksetaraan terakhir dari "set" saat ini:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Pada prinsipnya, ide solusi di sini juga jelas: semua fungsi eksponensial yang membentuk pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis "3". Tetapi untuk ini, Anda harus sedikit mengutak-atik akar dan derajat:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Mengingat fakta-fakta ini, ketidaksetaraan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Perhatikan perhitungan baris ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan sesuatu dengan ketidaksetaraan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang telah kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Selama Anda memiliki pengganda kiri atau kanan kiri, konstanta ekstra, dll., tidak ada rasionalisasi dan "mencoret" alasan yang dapat dilakukan! Tugas yang tak terhitung jumlahnya telah dilakukan salah karena kesalahpahaman fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini dengan siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik.

Tapi kembali ke tugas kita. Mari kita coba kali ini lakukan tanpa rasionalisasi. Kami ingat: basis derajat lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipat dapat dengan mudah dicoret - tanda ketidaksetaraan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Menyoroti ekspresi stabil dan mengganti variabel

Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk memecahkan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan gelar. Secara khusus, menempatkan faktor-faktor umum di luar tanda kurung.

Tetapi yang paling penting adalah belajar memahami: apa sebenarnya yang bisa dikurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugas-tugasnya:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Mari kita mulai dengan baris pertama. Mari kita tulis pertidaksamaan ini secara terpisah:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, sehingga ruas kanan dapat ditulis ulang:

Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Kami kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama ingat bahwa 1=5 0 . Kita punya:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Itulah seluruh solusi! Jawaban: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \kanan. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\akhir(sejajarkan)\]

Ini kira-kira bagaimana Anda perlu membuat keputusan tentang kontrol nyata dan pekerjaan mandiri.

Nah, mari kita coba sesuatu yang lebih sulit. Sebagai contoh, berikut adalah ketidaksetaraan:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Apa masalah yang terjadi di sini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 \u003d 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(selaraskan )\]

Seperti yang Anda lihat, pada awalnya kami membawa semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami perhatikan bahwa suku pertama mudah direduksi menjadi suku kedua - cukup dengan memperluas eksponennya. Sekarang kita dapat dengan aman memperkenalkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh ketidaksetaraan akan ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Sekali lagi, tidak masalah! Jawaban akhir: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pindah ke ketidaksetaraan terakhir dalam pelajaran hari ini:

\[((\left(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Hal pertama yang harus Anda perhatikan adalah, tentu saja, pecahan desimal di dasar derajat pertama. Hal ini diperlukan untuk menyingkirkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Hebat, kami telah mengambil langkah pertama - semuanya mengarah ke fondasi yang sama. Sekarang kita perlu menyoroti ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\akhir(sejajarkan)\]

Secara alami, pertanyaan mungkin muncul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8 ? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui kekuatan dua (dan pada saat yang sama kekuatan tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (Anda dapat membagi, karena 256 adalah bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(selaraskan )\]

Hal yang sama dengan tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah kekuatannya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya gelar “indah” yang perlu kamu ketahui:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\akhir(sejajarkan)\]

Tentu saja, semua angka ini, jika diinginkan, dapat dipulihkan dalam pikiran, hanya dengan mengalikannya satu sama lain secara berurutan. Namun, ketika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan setiap pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada yang sebelumnya, maka hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa angka di sana. Dan dalam pengertian ini, masalah ini lebih kompleks daripada ketidaksetaraan "klasik", yang diselesaikan dengan metode interval.

Saya harap pelajaran ini membantu Anda dalam menguasai topik ini. Jika ada yang kurang jelas, tanyakan di komentar. Dan sampai jumpa di tutorial selanjutnya. :)

Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 10. Buku pelajaran. Nikolay S.M. dan sebagainya.

Level dasar dan profil

edisi ke-8 - M.: Pencerahan, 2009. - 430 hal.

Buku teks sesuai dengan komponen federal dari standar negara bagian untuk pendidikan umum dalam matematika dan berisi materi untuk tingkat dasar dan khusus. Anda dapat mengerjakannya terlepas dari buku teks apa yang dipelajari siswa di tahun-tahun sebelumnya.

Buku teks ditujukan untuk mempersiapkan siswa untuk masuk ke universitas.

Format: djvu

Ukuran: 15,2 MB

Tonton, unduh:drive.google ; hantu

Format: pdf

Ukuran: 42,3 MB

Tonton, unduh:drive.google ; hantu

Catatan: Dalam PDF, kualitasnya lebih baik, hampir sempurna. Dibuat dari scan yang sama, 150 dpi, warna. Tapi di DJVU ternyata sedikit lebih buruk. Ini adalah satu kasus di mana ukuran penting.

DAFTAR ISI
BAB I. AKAR, POWER, LOGARITHS
1. Bilangan asli 3
1.1. Konsep bilangan real 3
1.2. Kumpulan angka. Sifat-sifat bilangan real. ... sepuluh
1.3*. Metode induksi matematika 16
1.4. Permutasi 22
1.5. Akomodasi 25
1.6. Kombinasi 27
1.7*. Bukti pertidaksamaan numerik 30
1.8*. Pembagian bilangan bulat 35
1.9*. Perbandingan modulo m 38
1.10*. Masalah dengan bilangan bulat tidak diketahui 40
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional 44
2.1. Ekspresi Rasional 44
2.2. Rumus binomial Newton, jumlah dan perbedaan derajat. . 48
2.3*. Pembagian polinomial dengan sisa. Algoritma Euclid... 53
2.4*. Teorema Bezout 57
2.5*. Akar polinomial 60
2.6. Persamaan rasional 65
2.7. Sistem persamaan rasional 70
2.8. Metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan 75
2.9. Ketimpangan rasional 79
2.10. Ketidaksetaraan tidak ketat 84
2.11. Sistem ketidaksetaraan rasional 88
3. Akar derajat n 93
3.1. Konsep fungsi dan grafiknya 93
3.2. Fungsi y \u003d x "96
3.3. Konsep akar derajat n 100
3.4. Akar pangkat genap dan ganjil 102
3.5. Akar aritmatika 106
3.6. Sifat-sifat akar derajat l 111
3.7*. Fungsi y \u003d nx (x\u003e 0) 114
3.8*. Fungsi y = nVx 117
3.9*. Akar ke-n dari bilangan asli 119
4. Kekuatan bilangan positif 122
4.1. Derajat dengan eksponen rasional 122
4.2. Sifat daya dengan eksponen rasional 125
4.3. Konsep limit barisan 131
4.4*. Batasi Properti 134
4.5. Sebuah kemajuan geometris yang terus menurun. . . 137
4.6. Nomor e 140
4.7. Konsep derajat dengan eksponen irasional .... 142
4.8. fungsi eksponensial 144
5. Logaritma 148
5.1. Konsep logaritma 148
5.2. Sifat-sifat logaritma 151
5.3. Fungsi logaritma 155
5.4*. Logaritma desimal 157
5.5*. Fungsi daya 159
6. Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma. . 164
6.1. Persamaan eksponensial paling sederhana 164
6.2. Persamaan logaritma paling sederhana 166
6.3. Persamaan direduksi menjadi yang paling sederhana dengan mengubah yang tidak diketahui 169
6.4. Pertidaksamaan eksponensial paling sederhana 173
6.5. Pertidaksamaan logaritma paling sederhana 178
6.6. Pengurangan Pertidaksamaan menjadi Substitusi Tersederhana dari yang Tidak Diketahui 182
Informasi sejarah 187
BAB II. FORMULA TRIGONOMETRI. FUNGSI TRIGONOMETRI
7. Sinus dan kosinus dari sudut 193
7.1. Konsep sudut 193
7.2. Ukuran radian sudut 200
7.3. Menentukan sinus dan cosinus sudut 203
7.4. Rumus dasar untuk sin a dan cos a 211
7.5. Arcsin 216
7.6. Busur kosinus 221
7.7*. Contoh penggunaan arcsine dan arccosine .... 225
7.8*. Rumus untuk Arcsine dan Arccosine 231
8. Tangen dan kotangen dari sudut 233
8.1. Menentukan garis singgung dan kotangen suatu sudut 233
8.2. Rumus dasar untuk tg a dan ctg a 239
8.3. Arctangen 243
8.4*. Tangen busur 246
8.5*. Contoh penggunaan arc tangen dan arc tangen. . 249
8.6*. Rumus untuk busur tangen dan busur tangen 255
9. Rumus penambahan 258
9.1. Cosinus selisih dan cosinus jumlah dua sudut 258
9.2. Rumus untuk Sudut Pelengkap 262
9.3. Sinus jumlah dan sinus selisih dua sudut 264
9.4. Jumlah dan selisih sinus dan cosinus 266
9.5. Rumus untuk sudut ganda dan setengah 268
9,6*. Hasil kali sinus dan cosinus 273
9.7*. Rumus untuk garis singgung 275
10. Fungsi trigonometri dari argumen numerik 280
10.1. Fungsi y \u003d sin x 281
10.2. Fungsi y \u003d cos x 285
10.3. Fungsi y = tg * 288
10.4. Fungsi y = ctg x 292
11. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri 295
11.1. Persamaan trigonometri paling sederhana 295
11.2. Persamaan Mengurangi ke yang Paling Sederhana dengan Mengganti Yang Tidak Diketahui 299
11.3. Penerapan rumus dasar trigonometri untuk menyelesaikan persamaan 303
11.4. Persamaan homogen 307
11.5*. Pertidaksamaan paling sederhana untuk sinus dan cosinus .... 310
11.6*. Pertidaksamaan paling sederhana untuk tangen dan kotangen. . . 315
11.7*. Pengurangan Pertidaksamaan menjadi Substitusi Tersederhana dari yang Tidak Diketahui 319
11,8*. Pengenalan sudut bantu 322
11.9*. Mengganti yang tidak diketahui t \u003d sin x + cos x 327
Informasi sejarah 330
BAB III. ELEMEN TEORI PROBABILITAS
12. Peluang suatu kejadian 333
12.1. Konsep peluang suatu kejadian 333
12.2. Sifat-sifat peluang kejadian 338
13*. Frekuensi. Peluang Bersyarat 342
13.1*. Frekuensi kejadian relatif 342
13.2*. Probabilitas Bersyarat. Acara independen 344
§ empat belas*. Nilai yang diharapkan. Hukum Bilangan Besar 348
14.1*. Harapan matematis 348
14.2*. Pengalaman sulit 353
14.3*. rumus Bernoulli. Hukum Bilangan Besar 355
Informasi sejarah 359
ULASAN 362
Indeks 407
Jawaban 410