Sistem terurut yang terdiri dari dua atau tiga sumbu yang berpotongan tegak lurus satu sama lain yang mempunyai titik asal (asal koordinat) yang sama dan satuan panjang yang sama disebut sistem koordinat kartesius persegi panjang .

Sistem koordinat Kartesius Umum (sistem koordinat affine) belum tentu mencakup sumbu tegak lurus. Untuk menghormati ahli matematika Prancis Rene Descartes (1596-1662), sistem koordinat seperti itu dinamai di mana satuan panjang yang umum diukur pada semua sumbu dan sumbu lurus.

Sistem koordinat kartesius persegi panjang pada bidang datar memiliki dua sumbu dan sistem koordinat kartesius persegi panjang dalam ruang - tiga sumbu. Setiap titik pada bidang atau ruang ditentukan oleh sekumpulan koordinat yang terurut - angka yang sesuai dengan satuan panjang sistem koordinat.

Perhatikan bahwa, sebagai berikut dari definisinya, terdapat sistem koordinat kartesius pada garis lurus, yaitu dalam satu dimensi. Pengenalan koordinat Cartesian pada suatu garis adalah salah satu cara dimana setiap titik pada suatu garis dikaitkan dengan bilangan real yang terdefinisi dengan baik, yaitu koordinat.

Metode koordinat, yang muncul dalam karya Rene Descartes, menandai restrukturisasi revolusioner seluruh matematika. Persamaan aljabar (atau pertidaksamaan) dapat diinterpretasikan dalam bentuk gambar geometris (grafik) dan, sebaliknya, mencari solusi masalah geometri menggunakan rumus analitik dan sistem persamaan. Ya, ketimpangan z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dan terletak di atas bidang ini sebanyak 3 buah.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, keanggotaan suatu titik pada kurva tertentu sesuai dengan fakta bahwa bilangan tersebut X Dan kamu memenuhi beberapa persamaan. Jadi, koordinat suatu titik pada lingkaran yang berpusat di suatu titik tertentu ( A; B) memenuhi persamaan (X - A)² + ( kamu - B)² = R² .

Sistem koordinat kartesius persegi panjang pada bidang datar

Dua sumbu tegak lurus pada suatu bidang yang mempunyai titik asal yang sama dan bentuk satuan skala yang sama Sistem koordinat persegi panjang kartesius pada bidang . Salah satu sumbu tersebut disebut sumbu Sapi, atau sumbu x , yang lainnya - sumbu Oi, atau sumbu y . Sumbu-sumbu ini disebut juga sumbu koordinat. Mari kita nyatakan dengan MX Dan Mkamu masing-masing, proyeksi titik sembarang M pada sumbu Sapi Dan Oi. Bagaimana cara mendapatkan proyeksi? Mari kita bahas intinya M Sapi. Garis lurus ini memotong sumbu Sapi pada intinya MX. Mari kita bahas intinya M garis lurus tegak lurus terhadap sumbu Oi. Garis lurus ini memotong sumbu Oi pada intinya Mkamu. Hal ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

X Dan kamu poin M kami akan menyebut nilai segmen yang diarahkan sesuai OMX Dan OMkamu. Nilai segmen terarah ini dihitung sebagai berikut X = X0 - 0 Dan kamu = kamu0 - 0 . Koordinat Kartesius X Dan kamu poin M absis Dan ordinat . Faktanya itu intinya M memiliki koordinat X Dan kamu, dilambangkan sebagai berikut: M(X, kamu) .

Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat kuadran , yang penomorannya ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Ini juga menunjukkan susunan tanda koordinat titik tergantung pada lokasinya di kuadran tertentu.

Selain koordinat persegi panjang kartesius pada suatu bidang, sistem koordinat kutub juga sering diperhatikan. Tentang metode transisi dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya - dalam pelajaran sistem koordinat kutub .

Sistem koordinat kartesius persegi panjang di ruang angkasa

Koordinat kartesius di ruang angkasa diperkenalkan dengan analogi lengkap dengan koordinat kartesius di bidang.

Tiga sumbu yang saling tegak lurus dalam ruang (sumbu koordinat) yang mempunyai titik asal yang sama HAI dan dengan satuan skala yang sama yang mereka bentuk Sistem koordinat persegi panjang kartesius dalam ruang .

Salah satu sumbu ini disebut sumbu Sapi, atau sumbu x , yang lainnya - sumbu Oi, atau sumbu y , yang ketiga adalah sumbu Ons, atau penerapan sumbu . Membiarkan MX, Mkamu Mz- proyeksi titik sembarang M ruang pada sumbunya Sapi , Oi Dan Ons masing-masing.

Mari kita bahas intinya M SapiSapi pada intinya MX. Mari kita bahas intinya M bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Oi. Bidang ini memotong sumbu Oi pada intinya Mkamu. Mari kita bahas intinya M bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Ons. Bidang ini memotong sumbu Ons pada intinya Mz.

Koordinat persegi panjang kartesius X , kamu Dan z poin M kami akan menyebut nilai segmen yang diarahkan sesuai OMX, OMkamu Dan OMz. Nilai segmen terarah ini dihitung sebagai berikut X = X0 - 0 , kamu = kamu0 - 0 Dan z = z0 - 0 .

Koordinat Kartesius X , kamu Dan z poin M dipanggil sebagaimana mestinya absis , ordinat Dan menerapkan .

Sumbu koordinat yang diambil berpasangan terletak pada bidang koordinat xOy , kamu Oz Dan zOx .

Soal titik pada sistem koordinat kartesius

Contoh 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Temukan koordinat proyeksi titik-titik tersebut pada sumbu absis.

Larutan. Sebagai berikut dari bagian teori pelajaran ini, proyeksi suatu titik pada sumbu absis terletak pada sumbu absis itu sendiri, yaitu sumbu Sapi, dan karena itu memiliki absis yang sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat (koordinat pada sumbu Oi, yang sumbu x berpotongan di titik 0), yang sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik pada sumbu x berikut:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Contoh 2. Dalam sistem koordinat Cartesian, titik-titik diberikan pada bidang

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Temukan koordinat proyeksi titik-titik ini pada sumbu ordinat.

Larutan. Sebagai berikut dari bagian teori pelajaran ini, proyeksi suatu titik pada sumbu ordinat terletak pada sumbu ordinat itu sendiri, yaitu sumbu Oi, dan karena itu memiliki ordinat yang sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis (koordinat pada sumbu Sapi, yang sumbu ordinatnya berpotongan di titik 0), yaitu sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik ini pada sumbu ordinat berikut:

Akamu(0;2);

Bkamu(0;1);

Ckamu(0;-2).

Contoh 3. Dalam sistem koordinat Cartesian, titik-titik diberikan pada bidang

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Sapi .

Sapi Sapi Sapi, akan memiliki absis yang sama dengan titik tertentu, dan ordinat yang nilai absolutnya sama dengan ordinat titik tertentu, dan bertanda berlawanan. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap titik-titik tersebut relatif terhadap sumbu Sapi :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Selesaikan sendiri masalah menggunakan sistem koordinat Cartesian, lalu lihat solusinya

Contoh 4. Tentukan di kuadran mana (kuadran, gambar dengan kuadran - di akhir paragraf "Sistem koordinat Kartesius Persegi Panjang pada bidang") suatu titik dapat ditempatkan M(X; kamu) , Jika

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − kamu = 0 ;

4) X + kamu = 0 ;

5) X + kamu > 0 ;

6) X + kamu < 0 ;

7) X − kamu > 0 ;

8) X − kamu < 0 .

Contoh 5. Dalam sistem koordinat Cartesian, titik-titik diberikan pada bidang

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(A; B) .

Temukan koordinat titik-titik yang simetris terhadap titik-titik tersebut terhadap sumbunya Oi .

Mari kita terus menyelesaikan masalah bersama-sama

Contoh 6. Dalam sistem koordinat Cartesian, titik-titik diberikan pada bidang

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Temukan koordinat titik-titik yang simetris terhadap titik-titik tersebut terhadap sumbunya Oi .

Larutan. Putar 180 derajat di sekitar sumbu Oi segmen arah dari sumbu Oi sampai saat ini. Pada gambar yang menunjukkan kuadran bidang, kita melihat bahwa titik tersebut simetris terhadap titik tertentu terhadap sumbu Oi, akan memiliki ordinat yang sama dengan titik tertentu, dan absis yang nilai absolutnya sama dengan absis titik tertentu dan berlawanan tanda. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap titik-titik tersebut relatif terhadap sumbu Oi :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Contoh 7. Dalam sistem koordinat Cartesian, titik-titik diberikan pada bidang

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Temukan koordinat titik-titik yang simetris terhadap titik-titik tersebut relatif terhadap titik asal.

Larutan. Kami memutar segmen terarah dari titik asal ke titik tertentu sebesar 180 derajat di sekitar titik asal. Pada gambar yang menunjukkan kuadran bidang, kita melihat bahwa suatu titik yang simetris terhadap titik tertentu terhadap titik asal akan memiliki absis dan ordinat yang nilai absolutnya sama dengan absis dan ordinat titik tersebut, tetapi berlawanan tandanya. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan titik-titik tersebut relatif terhadap titik asal:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Contoh 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Temukan koordinat proyeksi titik-titik ini:

1) di pesawat Oks ;

2) di pesawat Okz ;

3) ke pesawat Oyz ;

4) pada sumbu absis;

5) pada sumbu ordinat;

6) pada sumbu penerapan.

1) Proyeksi suatu titik pada bidang Oks terletak pada bidang itu sendiri, dan oleh karena itu memiliki absis dan ordinat yang sama dengan absis dan ordinat suatu titik tertentu, dan aplikasinya sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat proyeksi titik-titik ini berikut ini Oks :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proyeksi suatu titik pada suatu bidang Okz terletak pada bidang itu sendiri, dan oleh karena itu memiliki absis dan penerapan yang sama dengan absis dan penerapan suatu titik tertentu, dan ordinatnya sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat proyeksi titik-titik ini berikut ini Okz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Proyeksi suatu titik pada bidang Oyz terletak pada bidang itu sendiri, dan oleh karena itu memiliki ordinat dan penerapan yang sama dengan ordinat dan penerapan suatu titik tertentu, dan absis sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat proyeksi titik-titik ini berikut ini Oyz :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Sebagai berikut dari bagian teori pelajaran ini, proyeksi suatu titik pada sumbu absis terletak pada sumbu absis itu sendiri, yaitu sumbu Sapi, dan oleh karena itu memiliki absis yang sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat serta penerapan proyeksinya sama dengan nol (karena sumbu ordinat dan penerapannya memotong absis di titik 0). Kami memperoleh koordinat proyeksi titik-titik ini ke sumbu absis berikut:

Ax(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Proyeksi suatu titik pada sumbu ordinat terletak pada sumbu ordinat itu sendiri, yaitu sumbu Oi, dan oleh karena itu memiliki ordinat yang sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis serta penerapan proyeksinya sama dengan nol (karena absis dan sumbu penerapan berpotongan dengan sumbu ordinat di titik 0). Kami memperoleh koordinat proyeksi titik-titik ini ke sumbu ordinat berikut:

Akamu(0; 3; 0);

Bkamu (0; 2; 0);

Ckamu(0;-3;0).

6) Proyeksi suatu titik ke sumbu penerapan terletak pada sumbu penerapan itu sendiri, yaitu sumbu Ons, dan oleh karena itu memiliki aplikasi yang sama dengan aplikasi titik itu sendiri, dan absis serta ordinat proyeksinya sama dengan nol (karena sumbu absis dan ordinat memotong sumbu aplikasi di titik 0). Kami memperoleh koordinat proyeksi titik-titik ini ke sumbu aplikasi berikut:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Contoh 9. Dalam sistem koordinat kartesius, titik-titik diberikan dalam ruang

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Tentukan koordinat titik-titik yang simetris terhadap titik-titik tersebut terhadap:

1) pesawat Oks ;

2) pesawat terbang Okz ;

3) pesawat terbang Oyz ;

4) sumbu absis;

5) sumbu ordinat;

6) menerapkan sumbu;

7) asal koordinat.

1) “Pindahkan” titik ke sisi lain sumbu Oks Oks, akan memiliki absis dan ordinat yang sama dengan absis dan ordinat suatu titik tertentu, dan penerapan yang besarnya sama dengan penerapan suatu titik tertentu, tetapi tandanya berlawanan. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap data relatif terhadap bidang Oks :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) “Pindahkan” titik ke sisi lain sumbu Okz ke jarak yang sama. Dari gambar yang menampilkan ruang koordinat, kita melihat bahwa suatu titik simetris terhadap suatu titik tertentu terhadap sumbunya Okz, akan memiliki absis dan penerapan yang sama dengan absis dan penerapan suatu titik tertentu, dan ordinat yang besarnya sama dengan ordinat suatu titik tertentu, tetapi berlawanan tanda. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap data relatif terhadap bidang Okz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) “Pindahkan” titik ke sisi lain sumbu Oyz ke jarak yang sama. Dari gambar yang menampilkan ruang koordinat, kita melihat bahwa suatu titik simetris terhadap suatu titik tertentu terhadap sumbunya Oyz, akan memiliki ordinat dan aplikasi yang sama dengan ordinat dan aplikat suatu titik tertentu, dan absis yang nilainya sama dengan absis suatu titik tertentu, tetapi berlawanan tanda. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap data relatif terhadap bidang Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Dengan analogi dengan titik-titik simetris pada suatu bidang dan titik-titik dalam ruang yang simetris terhadap data yang berhubungan dengan bidang, kita perhatikan bahwa dalam kasus simetri terhadap beberapa sumbu sistem koordinat Kartesius dalam ruang, koordinat pada sumbu terhadap yang simetrinya diberikan akan mempertahankan tandanya, dan koordinat pada dua sumbu lainnya akan memiliki nilai absolut yang sama dengan koordinat suatu titik tertentu, tetapi berlawanan tanda.

4) Absis akan tetap mempertahankan tandanya, tetapi sumbu ordinat dan aplikasinya akan berubah tanda. Jadi, kita memperoleh koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap data relatif terhadap sumbu absis:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinatnya akan tetap mempertahankan tandanya, tetapi sumbu absis dan aplikasinya akan berubah tanda. Jadi, kita memperoleh koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap data relatif terhadap sumbu ordinat:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Penerapannya akan tetap mempertahankan tandanya, tetapi absis dan ordinatnya akan berubah tanda. Jadi, kita memperoleh koordinat titik-titik berikut yang simetris terhadap data relatif terhadap sumbu aplikasi:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Dengan analogi simetri pada kasus titik-titik pada suatu bidang, dalam kasus simetri terhadap titik asal koordinat, semua koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tertentu akan sama nilai absolutnya dengan koordinat titik tertentu, tapi berlawanan dengan mereka dalam tanda. Jadi, kita memperoleh koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data relatif terhadap titik asal.

Matematika adalah ilmu yang agak kompleks. Saat mempelajarinya, Anda tidak hanya harus memecahkan contoh dan soal, tetapi juga mengerjakan berbagai bentuk bahkan bidang. Salah satu yang paling banyak digunakan dalam matematika adalah sistem koordinat pada bidang. Anak-anak telah diajari cara menggunakannya dengan benar selama lebih dari satu tahun. Oleh karena itu, penting untuk mengetahui apa itu dan bagaimana cara menggunakannya dengan benar.

Mari kita cari tahu apa sistem ini, tindakan apa yang dapat dilakukan dengan bantuannya, dan juga cari tahu karakteristik dan fitur utamanya.

Definisi konsep

Bidang koordinat adalah bidang di mana sistem koordinat tertentu ditentukan. Bidang seperti itu ditentukan oleh dua garis lurus yang berpotongan tegak lurus. Titik potong garis-garis tersebut adalah titik asal koordinat. Setiap titik pada bidang koordinat ditentukan oleh sepasang angka yang disebut koordinat.

Dalam kursus matematika sekolah, anak-anak sekolah harus bekerja cukup erat dengan sistem koordinat - membuat gambar dan titik di atasnya, menentukan bidang mana yang termasuk dalam koordinat tertentu, serta menentukan koordinat suatu titik dan menulis atau memberi nama. Oleh karena itu, mari kita bahas lebih detail tentang semua fitur koordinat. Namun pertama-tama, mari kita bahas sejarah penciptaan, lalu kita akan membahas cara bekerja pada bidang koordinat.

Referensi sejarah

Ide untuk menciptakan sistem koordinat sudah ada sejak zaman Ptolemeus. Meski begitu, para astronom dan matematikawan masih memikirkan cara belajar menentukan posisi suatu titik pada bidang. Sayangnya, pada saat itu belum ada sistem koordinat yang kita kenal, dan para ilmuwan harus menggunakan sistem lain.

Awalnya, mereka menentukan titik menggunakan garis lintang dan garis bujur. Untuk waktu yang lama, ini adalah salah satu metode yang paling banyak digunakan untuk memplot informasi tertentu pada peta. Namun pada tahun 1637, Rene Descartes menciptakan sistem koordinatnya sendiri, yang kemudian dinamai sistem “Cartesian”.

Sudah di akhir abad ke-17. Konsep “bidang koordinat” telah banyak digunakan dalam dunia matematika. Terlepas dari kenyataan bahwa beberapa abad telah berlalu sejak penciptaan sistem ini, sistem ini masih banyak digunakan dalam matematika dan bahkan kehidupan.

Contoh bidang koordinat

Sebelum kita membahas teorinya, kami akan memberikan beberapa contoh visual bidang koordinat agar Anda dapat membayangkannya. Sistem koordinat terutama digunakan dalam catur. Di papan, setiap kotak memiliki koordinatnya sendiri - satu koordinat berbentuk alfabet, yang kedua digital. Dengan bantuannya Anda dapat menentukan posisi bagian tertentu di papan.

Contoh paling mencolok kedua adalah game “Battleship” yang disukai banyak orang. Ingat bagaimana, saat bermain, Anda memberi nama koordinat, misalnya B3, sehingga menunjukkan dengan tepat ke mana Anda membidik. Pada saat yang sama, saat menempatkan kapal, Anda menentukan titik-titik pada bidang koordinat.

Sistem koordinat ini banyak digunakan tidak hanya dalam matematika dan permainan logika, tetapi juga dalam urusan militer, astronomi, fisika dan banyak ilmu lainnya.

Koordinat sumbu

Seperti telah disebutkan, ada dua sumbu dalam sistem koordinat. Mari kita bicara sedikit tentang mereka, karena mereka sangat penting.

Sumbu pertama adalah absis - horizontal. Ini dilambangkan sebagai ( Sapi). Sumbu kedua adalah ordinat, yang melalui titik acuan secara vertikal dan dilambangkan dengan ( Oi). Kedua sumbu inilah yang membentuk sistem koordinat, membagi bidang menjadi empat bagian. Titik asal terletak pada titik potong kedua sumbu tersebut dan mengambil nilai 0 . Hanya jika bidang tersebut dibentuk oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus dan mempunyai titik acuan, maka bidang tersebut merupakan bidang koordinat.

Perhatikan juga bahwa masing-masing sumbu memiliki arahnya sendiri. Biasanya, ketika membangun sistem koordinat, arah sumbu biasanya ditunjukkan dalam bentuk panah. Selain itu, saat membuat bidang koordinat, setiap sumbu ditandatangani.

Perempat

Sekarang katakanlah beberapa patah kata tentang konsep seperempat bidang koordinat. Pesawat itu dibagi menjadi empat bagian oleh dua sumbu. Masing-masing memiliki nomornya sendiri, dan pesawat diberi nomor berlawanan arah jarum jam.

Masing-masing kuarter mempunyai ciri khasnya masing-masing. Jadi, pada triwulan pertama absis dan ordinatnya positif, pada triwulan kedua absisnya negatif, ordinatnya positif, pada triwulan ketiga absis dan ordinatnya negatif, pada triwulan keempat absisnya positif dan ordinatnya negatif. .

Dengan mengingat fitur-fitur ini, Anda dapat dengan mudah menentukan di kuartal mana suatu titik tertentu berada. Selain itu, informasi ini mungkin berguna bagi Anda jika harus melakukan perhitungan dengan menggunakan sistem kartesius.

Bekerja dengan bidang koordinat

Ketika kita telah memahami konsep bidang dan membicarakan tentang bagiannya, kita dapat beralih ke masalah seperti bekerja dengan sistem ini, dan juga berbicara tentang cara meletakkan titik dan koordinat gambar di atasnya. Pada bidang koordinat, hal ini tidak sesulit yang terlihat pada pandangan pertama.

Pertama-tama, sistem itu sendiri dibangun, semua sebutan penting diterapkan padanya. Kemudian kita bekerja secara langsung dengan titik atau bentuk. Selain itu, bahkan ketika membuat gambar, titik-titik digambar terlebih dahulu pada bidang, dan kemudian gambar tersebut digambar.

Aturan untuk membuat pesawat

Jika Anda memutuskan untuk mulai menandai bentuk dan titik di atas kertas, Anda memerlukan bidang koordinat. Koordinat titik-titik diplot di atasnya. Untuk membuat bidang koordinat, Anda hanya memerlukan penggaris dan pulpen atau pensil. Pertama, sumbu x horizontal digambar, kemudian sumbu vertikal digambar. Penting untuk diingat bahwa sumbu berpotongan pada sudut siku-siku.

Item wajib berikutnya adalah penerapan penandaan. Pada masing-masing sumbu di kedua arah, segmen satuan ditandai dan diberi label. Hal ini dilakukan agar Anda dapat bekerja dengan pesawat dengan kenyamanan maksimal.

Tandai satu titik

Sekarang mari kita bahas cara memplot koordinat titik pada bidang koordinat. Inilah dasar-dasar yang perlu Anda ketahui agar berhasil menempatkan berbagai bentuk pada bidang, dan bahkan menandai persamaan.

Saat membuat titik, Anda harus mengingat bagaimana koordinatnya ditulis dengan benar. Jadi, biasanya saat menentukan suatu titik, dua angka ditulis dalam tanda kurung. Digit pertama menunjukkan koordinat titik sepanjang sumbu absis, digit kedua menunjukkan koordinat titik sepanjang sumbu ordinat.

Intinya harus dibangun dengan cara ini. Tanda pertama pada sumbu Sapi titik tertentu, lalu tandai titik tersebut pada sumbunya Oi. Selanjutnya, gambarlah garis imajiner dari sebutan ini dan temukan tempat perpotongannya - ini akan menjadi titik tertentu.

Yang perlu Anda lakukan hanyalah menandainya dan menandatanganinya. Seperti yang Anda lihat, semuanya cukup sederhana dan tidak memerlukan keahlian khusus.

Tempatkan gambarnya

Sekarang mari kita beralih ke masalah pembuatan bangun-bangun pada bidang koordinat. Untuk membuat gambar apa pun pada bidang koordinat, Anda harus mengetahui cara menempatkan titik di atasnya. Jika Anda tahu cara melakukan ini, maka menempatkan gambar di pesawat tidaklah terlalu sulit.

Pertama-tama, Anda memerlukan koordinat titik-titik pada gambar. Menurut mereka kita akan menerapkan yang telah Anda pilih ke sistem koordinat kita.Mari kita pertimbangkan penerapan persegi panjang, segitiga dan lingkaran.

Mari kita mulai dengan persegi panjang. Cara penerapannya cukup mudah. Pertama, empat titik ditandai pada bidang yang menunjukkan sudut-sudut persegi panjang. Kemudian semua titik tersebut dihubungkan secara berurutan satu sama lain.

Menggambar segitiga juga demikian. Satu-satunya hal adalah ia memiliki tiga sudut, yang berarti ada tiga titik yang ditandai pada bidang yang menunjukkan simpulnya.

Mengenai lingkaran, Anda harus mengetahui koordinat dua titik. Titik pertama adalah pusat lingkaran, titik kedua adalah titik yang menunjukkan jari-jarinya. Kedua titik ini diplot pada bidang. Kemudian ambil kompas dan ukur jarak antara dua titik. Ujung kompas ditempatkan pada titik yang menandai pusat, dan digambarkan sebuah lingkaran.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit di sini juga, yang utama adalah Anda selalu memiliki penggaris dan kompas.

Sekarang Anda tahu cara memplot koordinat bangun-bangun. Melakukan hal ini pada bidang koordinat tidaklah sesulit kelihatannya pada pandangan pertama.

kesimpulan

Jadi, kita telah melihat salah satu konsep matematika paling menarik dan mendasar yang harus dihadapi setiap anak sekolah.

Kita telah mengetahui bahwa bidang koordinat adalah bidang yang dibentuk oleh perpotongan dua sumbu. Dengan bantuannya, Anda dapat mengatur koordinat titik dan menggambar bentuk di atasnya. Pesawat ini dibagi menjadi beberapa bagian yang masing-masing memiliki ciri khas tersendiri.

Keterampilan utama yang harus dikembangkan ketika bekerja dengan bidang koordinat adalah kemampuan untuk memplot titik-titik tertentu dengan benar. Untuk melakukan ini, Anda harus mengetahui lokasi sumbu yang benar, fitur-fitur tempat, serta aturan yang digunakan untuk menentukan koordinat titik.

Kami berharap informasi yang kami sajikan dapat diakses dan dipahami, serta bermanfaat bagi Anda dan membantu Anda lebih memahami topik ini.

Biarkan itu diberikan persamaan dengan dua variabel F(x; y). Anda telah mengetahui cara menyelesaikan persamaan tersebut secara analitis. Banyak solusi persamaan tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik.

Grafik persamaan F(x; y) adalah himpunan titik-titik pada bidang koordinat xOy yang koordinatnya memenuhi persamaan tersebut.

Untuk membuat grafik persamaan dua variabel, pertama-tama nyatakan variabel y dalam persamaan tersebut dalam variabel x.

Pasti kalian sudah mengetahui cara membuat berbagai grafik persamaan dua variabel: ax + b = c – garis lurus, yx = k – hiperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – lingkaran yang jari-jarinya sama dengan R, dan pusatnya berada di titik O(a; b).

Contoh 1.

Gambarkan persamaan x 2 – 9y 2 = 0.

Larutan.

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan tersebut.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, yaitu y = x/3 atau y = -x/3.

Jawaban: Gambar 1.

Tempat khusus ditempati dengan mendefinisikan angka-angka pada bidang dengan persamaan yang mengandung tanda nilai absolut, yang akan kita bahas secara rinci. Mari kita perhatikan tahapan pembuatan grafik persamaan bentuk |y| = f(x) dan |y| = |f(x)|.

Persamaan pertama ekuivalen dengan sistem

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) atau y = -f(x).

Artinya, grafiknya terdiri dari grafik dua fungsi: y = f(x) dan y = -f(x), dimana f(x) ≥ 0.

Untuk memplot persamaan kedua, plot dua fungsi: y = f(x) dan y = -f(x).

Contoh 2.

Gambarkan persamaan |y| = 2 + x.

Larutan.

Persamaan yang diberikan ekuivalen dengan sistem

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 atau y = -x – 2.

Kami membangun banyak poin.

Jawaban: Gambar 2.

Contoh 3.

Gambarkan persamaan |y – x| = 1.

Larutan.

Jika y ≥ x, maka y = x + 1, jika y ≤ x, maka y = x – 1.

Jawaban: Gambar 3.

Saat membuat grafik persamaan yang berisi variabel di bawah tanda modulus, akan lebih mudah dan rasional untuk digunakan metode daerah, berdasarkan pembagian bidang koordinat menjadi beberapa bagian di mana setiap ekspresi submodular mempertahankan tandanya.

Contoh 4.

Gambarkan persamaan x + |x| + kamu + |kamu| = 2.

Larutan.

Dalam contoh ini, tanda setiap ekspresi submodular bergantung pada kuadran koordinat.

1) Pada kuarter koordinat pertama x ≥ 0 dan y ≥ 0. Setelah modul diperluas, persamaan yang diberikan akan terlihat seperti:

2x + 2y = 2, dan setelah disederhanakan x + y = 1.

2) Pada kuarter kedua, dimana x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Pada kuarter ketiga x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Pada triwulan keempat, ketika x ≥ 0, dan y< 0 получим, что x = 1.

Kami akan memplot persamaan ini per empat bagian.

Jawaban: Gambar 4.

Contoh 5.

Gambarlah himpunan titik yang koordinatnya memenuhi persamaan |x – 1| + |kamu – 1| = 1.

Larutan.

Angka nol dari ekspresi submodular x = 1 dan y = 1 membagi bidang koordinat menjadi empat daerah. Mari kita uraikan modul berdasarkan wilayah. Mari kita susun dalam bentuk tabel.

Wilayah	Tanda ekspresi submodular	Persamaan yang dihasilkan setelah memperluas modul
SAYA	x ≥ 1 dan y ≥ 1	x + kamu = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x + kamu = 1
AKU AKU AKU	X< 1 и y < 1	x + kamu = 1
IV	x ≥ 1 dan y< 1	x – kamu = 1

Jawaban: Gambar 5.

Pada bidang koordinat, angka dan dapat ditentukan kesenjangan.

Grafik ketimpangan dengan dua variabel adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang koordinatnya merupakan solusi pertidaksamaan tersebut.

Mari kita pertimbangkan algoritma untuk membangun model untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan dua variabel:

1. Tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan tersebut.
2. Buat grafik persamaan dari langkah 1.
3. Pilih titik sembarang di salah satu setengah bidang. Periksa apakah koordinat titik yang dipilih memenuhi pertidaksamaan ini.
4. Gambarkan secara grafis himpunan semua solusi pertidaksamaan tersebut.

Mari kita perhatikan dulu pertidaksamaan ax + bx + c > 0. Persamaan ax + bx + c = 0 mendefinisikan garis lurus yang membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Pada masing-masing fungsi f(x) = ax + bx + c mempertahankan tandanya. Untuk menentukan tanda ini, cukup dengan mengambil titik mana pun yang termasuk dalam setengah bidang dan menghitung nilai fungsi pada titik tersebut. Jika tanda suatu fungsi berimpit dengan tanda pertidaksamaan, maka setengah bidang tersebut merupakan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Mari kita lihat contoh solusi grafis untuk pertidaksamaan paling umum dengan dua variabel.

1) kapak + bx + c ≥ 0. Gambar 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Gambar 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Angka 8.

4) kamu ≥ x 2 . Gambar 9.

5) xy ≤ 1. Gambar 10.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin berlatih menggambar pada model bidang himpunan semua solusi pertidaksamaan dua variabel menggunakan pemodelan matematika, Anda dapat melakukan pelajaran 25 menit gratis dengan tutor online setelah . Untuk bekerja lebih lanjut dengan seorang guru, Anda akan memiliki kesempatan untuk memilih salah satu yang cocok untuk Anda

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menggambar bangun datar pada bidang koordinat?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang ditentukan oleh dua garis lurus yang saling tegak lurus. Garis lurus disebut sumbu koordinat (atau sumbu koordinat). Titik potong garis-garis tersebut disebut titik asal dan dilambangkan dengan huruf O.

Biasanya salah satu garisnya horizontal, yang lainnya vertikal. Garis mendatar disebut sumbu x (atau Sapi) disebut sumbu absis, garis vertikal disebut sumbu y (Oy), disebut sumbu ordinat. Seluruh sistem koordinat diberi nama xOy.

Titik O membagi masing-masing sumbu menjadi dua sumbu semi, salah satunya dianggap positif (dilambangkan dengan panah), yang lain dianggap negatif.

Setiap titik F pada bidang diberi sepasang angka (x;y) - koordinatnya.

Koordinat x disebut absis. Itu sama dengan Kerbau, diambil dengan tanda yang sesuai.

Koordinat y disebut ordinat dan sama dengan jarak titik F ke sumbu Oy (dengan tanda yang sesuai).

Jarak poros biasanya (tetapi tidak selalu) diukur dalam satuan panjang yang sama.

Titik-titik yang terletak di sebelah kanan sumbu y mempunyai absis positif. Titik-titik yang terletak di sebelah kiri sumbu ordinat mempunyai absis negatif. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu Oy, koordinat x-nya adalah nol.

Titik-titik dengan ordinat positif terletak di atas sumbu x, dan titik-titik dengan ordinat negatif terletak di bawah. Jika suatu titik terletak pada sumbu Ox, koordinat y-nya adalah nol.

Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian, yang disebut bagian koordinat (atau sudut atau kuadran koordinat).

1 kuartal koordinat terletak di pojok kanan atas bidang koordinat xOy. Kedua koordinat titik yang terletak pada kuarter pertama adalah positif.

Peralihan dari satu kuartal ke kuartal lainnya dilakukan berlawanan arah jarum jam.

2 kuarter koordinat terletak di pojok kiri atas. Titik-titik yang terletak pada kuarter kedua mempunyai absis negatif dan ordinat positif.

3 koordinat kuarter terletak di kuadran kiri bawah bidang xOy. Kedua koordinat titik yang termasuk dalam sudut koordinat III adalah negatif.

4 koordinat kuarter adalah pojok kanan bawah bidang koordinat. Setiap titik dari kuartal IV mempunyai koordinat pertama positif dan koordinat kedua negatif.

Contoh letak titik pada sistem koordinat persegi panjang:

• Dua garis koordinat yang saling tegak lurus berpotongan di titik O - asal acuan, bentuk sistem koordinat persegi panjang, juga disebut sistem koordinat Cartesian.
• Bidang tempat sistem koordinat dipilih disebut bidang koordinat. Garis koordinat disebut sumbu koordinat. Sumbu mendatar adalah sumbu absis (Ox), sumbu vertikal adalah sumbu ordinat (Oy).
• Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian – perempat. Nomor seri kuartal biasanya dihitung berlawanan arah jarum jam.
• Setiap titik pada bidang koordinat ditentukan oleh koordinatnya - absis dan ordinat. Misalnya, SEBUAH(3; 4). Baca: titik A dengan koordinat 3 dan 4. Disini 3 adalah absis, 4 adalah ordinatnya.

I. Konstruksi titik A(3;4).

Absis 3 menunjukkan bahwa dari awal hitungan mundur – titik O perlu dipindahkan ke kanan 3 segmen unit, lalu memasangnya 4 segmen satuan dan beri titik.

Inilah intinya SEBUAH(3;4).

Konstruksi titik B(-2; 5).

Dari nol kita bergerak ke kiri 2 segmen tunggal dan kemudian ke atas 5 segmen tunggal.

Mari kita akhiri DI DALAM.

Biasanya diambil satuan segmen 1 sel.

II. Buatlah titik-titik pada bidang koordinat xOy:

SEBUAH (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

AKU AKU AKU. Tentukan koordinat titik-titik yang dibangun: A, B, C, D, F, K.

SEBUAH(-4;3);DALAM 20);

C(3;4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).