Sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah dua atau lebih persamaan linier yang harus dicari semua solusi umumnya. Kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui. Bentuk umum sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Di sini x dan y adalah variabel yang tidak diketahui, a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa bilangan real. Penyelesaian sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah pasangan bilangan (x, y) sedemikian rupa sehingga jika bilangan-bilangan ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem menjadi persamaan sejati. Pertimbangkan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yaitu metode substitusi.

Algoritma untuk penyelesaian dengan metode substitusi

Algoritma penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi:

1. Pilih satu persamaan (lebih baik pilih persamaan yang angkanya lebih kecil) dan nyatakan satu variabel darinya melalui yang lain, misalnya x sampai y. (Anda juga bisa y sampai x).

2. Substitusi ekspresi yang dihasilkan sebagai ganti variabel yang sesuai dalam persamaan lain. Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui.

3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan dan mendapatkan solusinya.

4. Kami mengganti solusi yang diperoleh ke dalam ekspresi yang diperoleh di paragraf pertama, kami memperoleh yang tidak diketahui kedua dari solusi.

5. Verifikasi solusi yang dihasilkan.

Contoh

Untuk membuatnya lebih jelas, mari kita selesaikan sebuah contoh kecil.

Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Keputusan:

1. Dari persamaan pertama sistem ini, kita nyatakan variabel x. Kami memiliki x= (12 -2*y);

2. Substitusikan ekspresi ini ke persamaan kedua, kita mendapatkan 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi yang diperoleh di paragraf pertama. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Kami memeriksa solusi yang diperoleh, untuk ini kami mengganti angka-angka yang ditemukan dalam sistem asli.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Kami mendapatkan persamaan yang benar, oleh karena itu, kami menemukan solusinya dengan benar.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tempat pelajaran dalam sistem pelajaran: pelajaran ketiga mempelajari topik “Sistem dua persamaan linier dengan dua variabel”

Jenis pelajaran: belajar ilmu baru

Teknologi pendidikan: pengembangan berpikir kritis melalui membaca dan menulis

Metode mengajar: belajar

Tujuan Pelajaran: kuasai cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel - metode penjumlahan

Tugas:

• subjek: pembentukan keterampilan praktis dalam memecahkan sistem persamaan linier dengan metode substitusi;
• metasubjek: mengembangkan pemikiran, persepsi sadar bahan pendidikan;
• pribadi: pendidikan aktivitas kognitif, budaya komunikasi dan penanaman minat pada mata pelajaran.

Akibatnya, siswa:

• Mengetahui definisi sistem persamaan linier dengan dua variabel;
• Mengetahui apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel;
• Mampu menulis sistem persamaan linear dengan dua variabel;
• Memahami berapa banyak solusi yang dapat dimiliki sistem persamaan linier dengan dua variabel;
• Mampu menentukan apakah sistem memiliki solusi, dan jika demikian, berapa banyak;
• Mengetahui algoritma untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan substitusi, penambahan aljabar, metode grafis.

Pertanyaan masalah:“Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel?”

Pertanyaan kunci: Bagaimana dan mengapa kita menggunakan persamaan dalam hidup kita?

Peralatan: presentasi; proyektor multimedia; layar; komputer, buku kerja aljabar: kelas 7: ke buku teks oleh A.G. Mordkovich dan lainnya "Aljabar - 7" 2012

Sumber daya (dari mana informasi tentang topik berasal dari: buku, buku teks, Internet, dll.): buku teks "Aljabar - 7" 2012, A.G. Mordkovich

Bentuk organisasi kegiatan pendidikan siswa (kelompok, pasangan-kelompok, frontal, dll): individu, sebagian frontal, sebagian ruang uap

Kriteria evaluasi:

• A - pengetahuan dan pemahaman +
• B - aplikasi dan penalaran
• C - pesan +
• D - refleksi dan evaluasi

Area interaksi:

• ATL - Mampu menggunakan waktu secara efektif, merencanakan kegiatan Anda sesuai dengan tujuan dan sasaran yang ditetapkan, menentukan urutan kegiatan yang paling rasional. Kemampuan menjawab pertanyaan, berargumentasi, berargumentasi. Untuk dapat menganalisis dan mengevaluasi aktivitas pendidikan dan kognitif mereka sendiri, untuk menemukan cara untuk memecahkan masalah.
• Siswa HI mengeksplorasi konsekuensi dari aktivitas manusia

Selama kelas

I. Organisasi pelajaran

II. Pemeriksaan pelatihan mandiri

a) Nomor 12.2(b, c).

Jawaban: (5; 3). Jawaban: (2; 3).

Jawaban: (4;2)

Nyatakan satu variabel dalam istilah lain:

• p \u003d p / (g * h) - kepadatan cairan
• p \u003d g * p * h - tekanan cairan di bagian bawah kapal
• h = p / (g * p) - tinggi
• p = m / V - kepadatan
• m = V * p -massa
• p = m / V - kepadatan

Algoritma penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua variabel menggunakan metode substitusi:

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari persamaan pertama (atau kedua) sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang diperoleh pada langkah pertama alih-alih y ke dalam persamaan kedua (pertama) dari sistem.
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah kedua untuk x.
4. Substitusikan nilai x yang ditemukan pada langkah ketiga ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tulis jawaban sebagai pasangan nilai (x; y) yang ditemukan masing-masing pada langkah ketiga dan keempat.

Pekerjaan mandiri:

Dalam buku kerja, hlm. 46 - 47.

• pada "3" No. 6(a);
• pada "4" No. 6(b);
• ke "5" No. 7.

AKU AKU AKU. Memperbarui pengetahuan dasar

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear dua variabel?

Sistem persamaan adalah dua atau lebih persamaan yang harus dicari semua penyelesaiannya.

Apa solusi dari sistem persamaan dengan dua variabel?

Penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui adalah pasangan bilangan (x,y) sedemikian rupa sehingga jika bilangan-bilangan ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem tersebut menjadi persamaan sejati.

Berapa banyak solusi yang dapat dimiliki sistem persamaan linier dengan dua variabel?

Jika gradiennya sama, maka garisnya sejajar, tidak ada akarnya.

Jika kemiringannya tidak sama, maka garis berpotongan, satu akar (koordinat titik perpotongan).

Jika kemiringannya sama, maka garis-garisnya bertepatan, akarnya tidak terbatas.

IV. Mempelajari materi baru

Isi bagian yang kosong: Lampiran 1 (diikuti dengan slide pemeriksaan diri)

V. Kerjakan topik pelajaran

Di kelas: 13.2(a, d), 13.3(a, d).

VI. Pekerjaan rumah

Paragraf 13 - buku teks; kosakata; 13.2(b, c), 13.3(b, c).

VII. Ringkasan pelajaran

• Hore!!! Saya mengerti semuanya!
• Ada hal-hal yang harus saya kerjakan!
• Ada kegagalan, tetapi saya akan mengatasi semuanya!

VIII. Memecahkan masalah untuk komponen militer

Tank tempur utama T-80.

Diadopsi pada tahun 1976. Tangki seri pertama di dunia dengan pembangkit listrik utama berdasarkan mesin turbin gas.

Data taktis dan teknis dasar (TTD):

Berat, t - 46

Kecepatan, km/jam - 70

Cadangan daya, km - 335-370

Persenjataan: meriam smooth-bore 125 mm (40 buah amunisi);

Senapan mesin 12,7 mm (muatan amunisi 300 buah);

Senapan mesin PKT 7,62 mm (muatan amunisi 2000 pcs.)

Berapa lama tangki T-80 dapat bergerak tanpa mengisi bahan bakar?

Mari kita cari tahu Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan substitusi?

1) Nyatakan yang tidak diketahui dari persamaan pertama atau kedua dari sistem X atau pada(seperti yang kita inginkan);

2) Substitusi ke persamaan lain (ke dalam persamaan yang darinya yang tidak diketahui tidak dinyatakan) alih-alih yang tidak diketahui X atau pada(jika diungkapkan X, gantikan X; jika diungkapkan pada, gantikan pada) ekspresi yang dihasilkan;

3) Kami memecahkan persamaan yang kami terima. Kami menemukan X atau y;

4) Kami mengganti nilai yang diperoleh dari yang tidak diketahui dan menemukan yang tidak diketahui kedua.

Aturannya tertulis. Sekarang mari kita coba menerapkannya ketika memecahkan sistem persamaan.

Contoh 1.

Mari kita lihat lebih dekat sistem persamaan. Kami perhatikan bahwa dari persamaan pertama lebih mudah untuk mengekspresikan pada.

Kami mengungkapkan pada:

-2th \u003d 11 - 3x

y \u003d (11 - 3x) / (-2)

y \u003d -5,5 + 1,5x

Sekarang dengan hati-hati substitusikan ke persamaan kedua alih-alih pada ekspresi -5.5 + 1.5x.

Kami mendapatkan: 4x - 5 (-5,5 + 1,5x) \u003d 3

Kami memecahkan persamaan ini:

4x + 27,5 - 7,5x \u003d 3

-3.5x \u003d 3 - 27.5

-3.5x = -24,5

x \u003d -24,5 / (-3.5)

Kami mengganti ke dalam ekspresi y \u003d - 5,5 + 1,5x alih-alih X nilai yang kami temukan. Kita mendapatkan:

y \u003d - 5,5 + 1,5 7 \u003d -5,5 + 10,5 \u003d 5.

Jawaban: (7; 5)

Menariknya, jika kita nyatakan dari persamaan pertama tidak pada, sebuah X, apakah jawabannya akan berubah?

Ayo coba ekspresikan X dari persamaan pertama.

x = (11 + 2 tahun)/3

Pengganti bukannya X ke dalam persamaan kedua, ekspresi (11 + 2y) / 3, kita mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui dan menyelesaikannya.

4(11 + 2y)/3 - 5y = 3, kalikan kedua ruas persamaan dengan 3, kita peroleh

4(11 + 2th) - 15th=9

44 + 8th - 15th \u003d 9

–7y = 9 – 44

y = -35/(-7)

Kami menemukan variabel x dengan mensubstitusikan 5 ke dalam ekspresi x = (11 + 2y)/3.

x \u003d (11 + 2 5) / 3 \u003d (11 + 10) / 3 \u003d 21/3 \u003d 7

Jawaban: (7; 5)

Seperti yang terlihat jawabannya sama. Jika Anda berhati-hati dan berhati-hati, maka variabel apa pun yang Anda ekspresikan - X atau pada Anda akan mendapatkan jawaban yang benar.

Cukup sering siswa bertanya: Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan sistem selain penambahan dan substitusi?»

Ada beberapa modifikasi dari metode substitusi - cara membandingkan yang tidak diketahui .

1) Hal ini diperlukan untuk menyatakan tidak diketahui yang sama dari setiap persamaan sistem melalui yang kedua.

2) Yang tidak diketahui yang diperoleh dibandingkan, persamaan dengan satu yang tidak diketahui diperoleh.

3) Temukan nilai dari satu yang tidak diketahui.

4) Substitusikan nilai yang diperoleh dari yang tidak diketahui dan temukan yang tidak diketahui kedua.

Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan

Dari kedua persamaan tersebut, kita nyatakan variabelnya X melalui pada.

Kita peroleh dari persamaan pertama x = (13 - 6y) / 5, dan dari persamaan kedua x = (-1 - 18y) / 7.

Membandingkan ekspresi ini, kami memperoleh persamaan dengan satu yang tidak diketahui dan menyelesaikannya:

(13 - 6 tahun) / 5 = (-1 - 18 tahun) / 7

7 (13 - 6 tahun) \u003d 5 (-1 - 18 tahun)

91 - 42 tahun \u003d -5 - 90 tahun

-42 tahun + 90 tahun \u003d -5 - 91

y \u003d - 96 / 48

Tidak dikenal X cari dengan mengganti nilai pada menjadi salah satu ekspresi untuk X.

(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5

Jawaban: (5; -2).

Saya pikir Anda akan berhasil juga. Jika Anda memiliki pertanyaan, silakan datang ke kelas saya.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

2. Metode penjumlahan aljabar.
3. Metode pengenalan variabel baru (metode mengubah variabel).

Definisi: Sistem persamaan mengacu pada beberapa persamaan dalam satu atau lebih variabel yang harus dilakukan secara bersamaan, yaitu. dengan nilai variabel yang sama untuk semua persamaan. Persamaan dalam sistem digabungkan dengan tanda sistem - kurung kurawal.
Contoh 1:

adalah sistem dua persamaan dengan dua variabel x dan kamu.
Solusi dari sistem adalah akarnya. Ketika nilai-nilai ini diganti, persamaan berubah menjadi identitas sebenarnya:

Memecahkan sistem persamaan linier.

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan suatu sistem adalah metode substitusi.

Metode substitusi.

Metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan terdiri dari menyatakan beberapa variabel dari satu persamaan sistem dalam bentuk persamaan lainnya, dan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan sistem yang tersisa, bukan variabel yang dinyatakan.
Contoh 2:
Memecahkan sistem persamaan:

Keputusan:
Sebuah sistem persamaan diberikan dan harus diselesaikan dengan metode substitusi.
Mari kita nyatakan variabelnya kamu dari persamaan kedua sistem.
Komentar:"Menyatakan variabel" berarti mengubah persamaan sehingga variabel ini tetap berada di sebelah kiri tanda sama dengan dengan koefisien 1, dan semua suku lainnya menuju ke ruas kanan persamaan.
Persamaan kedua dari sistem:

Mari kita tinggalkan di sebelah kiri kamu:

Dan mari kita substitusikan (dari situlah nama metode berasal) ke persamaan pertama, bukan pada ekspresi itu sama dengan, yaitu .
persamaan pertama:

Pengganti:

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat dangkal ini. Bagi mereka yang lupa bagaimana melakukan ini, ada artikel Memecahkan persamaan kuadrat. .

Jadi nilai variabelnya x ditemukan.
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi untuk variabel kamu. Ada dua nilai di sini x, yaitu untuk masing-masing dari mereka perlu untuk menemukan nilainya kamu .
1) Biarkan
Substitusi dalam ekspresi.

2) Biarkan
Substitusi dalam ekspresi.

Semuanya bisa dijawab:
Komentar: Dalam hal ini, jawabannya harus ditulis berpasangan, agar tidak membingungkan nilai variabel y yang mana yang sesuai dengan nilai variabel x yang mana.
Menjawab:
Komentar: Dalam contoh 1, hanya satu pasangan yang diindikasikan sebagai solusi untuk sistem, yaitu. pasangan ini adalah solusi untuk sistem, tetapi bukan solusi yang lengkap. Oleh karena itu, cara menyelesaikan suatu persamaan atau sistem berarti menunjukkan solusi dan menunjukkan bahwa tidak ada solusi lain. Dan ini adalah pasangan lain.

Mari kita formalkan solusi sistem ini dengan cara sekolah:

Komentar: Tanda "" berarti "setara", yaitu. sistem atau ekspresi berikut ini setara dengan yang sebelumnya.