3-dars

Median uchburchakning maydonini yarmiga bo'ladi

Ikki uchburchak deyiladi hajmiga teng. Agar ular bir xil maydonga ega bo'lsa.

Teorema 1. Mediana uchburchakni teng maydonli ikkita uchburchakka ajratadi.

Isbot:

VM ABC uchburchagining medianasi bo'lsin. Keling, buni isbotlaylik

https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg" width="289" height="227">

ABC uchburchakning BH balandligini chizing. Keyin

,

https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif" width="136" height="34 src=">.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif" width="217" height="55 src=">.

Q.E.D.

Teorema 2. Uchburchakning medianalari uni teng maydonga ega oltita uchburchakka ajratadi.

Teoremadan, xususan, uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi uning barcha uchlari bilan bog'langan bo'lsa, u holda uchburchak quyidagilarga bo'linadi. uch teng qismlar.

Vazifa 1 Uchburchakning ikkita medianasi oʻzaro perpendikulyar va mos ravishda 3 va 4 ga teng.Uchburchakning yuzini toping.

Qaror.

ABC uchburchakda AM va BE medianalari mos ravishda 3 va 4 ga teng bo‘lsin, , K medianalarning kesishish nuqtasi.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif" width="120" height="47 src=">.

ABC uchburchak BCA to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak bo'lgani uchun .

Medianlar uchburchakni 6 ta teng qismga ajratgani uchun .

Javob: 8

Vazifa 2 Uchburchakning medianalari 6, 8 va 10 ga teng, uchburchakning maydonini toping.

Qaror.

Medianlarga ruxsat bering VAM, BO'LING va CD bu uchburchakning mos ravishda 6, 8 va 10 ga teng, K ularning kesishish nuqtasidir. BE nurining davomini E nuqtadan keyingi segmentga qoldiramiz EF= KE. C, F va A nuqtalarini ulang.

Uchburchakni ko'rib chiqing KAF.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif" width="152" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif" width="67" height="19 src=">, chunki CKAE parallelogrammdir (paralelogramma asosida: diagonallar bo'lsa to'rtburchakning kesishish nuqtasiga yarmiga bo'lingan, berilgan to'rtburchak parallelogrammagacha), biz olamiz .

https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif" width="125" height="20 src="> dan beri, keyin teskari Pifagor teoremasi bo'yicha (agar bir tomonning kvadrati uchburchak uning boshqa tomonining ikkita kvadratlari yig'indisiga teng, keyin uchburchak to'g'ri burchakli) uchburchak KAF to'g'ri burchakli va .

AKF uchburchagining maydonini hisoblang:

https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif" width="104" height="41 src=">.gif" width="104" height="41 src=">.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif" width="16 height=41" height="41">uchburchakning o'zidan.

Buning isbotini, masalan, “Planimetriyadagi yordam masalalari” uslubiy qo‘llanmada ko‘rish mumkin.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar:

1. Qanday uchburchaklar teng maydon deb ataladi?

2. Uchburchakning maydoni S ga teng. Har bir uchburchakning maydoni bu uchburchakning istalgan tomoniga chizilgan medianaga boʻlingan uchburchakning maydoni nechaga teng?

3. Uchburchak unga chizilgan uchta medianaga nechta teng qismga bo'linadi?

4. Uchburchakning maydoni S. Bu uchburchakning markaziy qismi uning uchlari bilan bog'langan. Olingan uchburchaklarning har birining maydoni qancha?

5. Uchburchakning maydoni 48 ga teng, bu uchburchakning medianalaridan tashkil topgan uchburchakning maydoni nechaga teng?

6. Ba'zi uchburchakning medianalaridan tashkil topgan uchburchakning maydoni 24 ga teng, uchburchakning maydoni qancha?

Javoblarni ko'rish.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

1. Uchburchakning ikkita medianasi oʻzaro perpendikulyar va mos ravishda 6 va 8 ga teng.Uchburchakning yuzini toping.

Yechimni ko'rish.

2. Uchburchakning medianalari 3, 4 va 5 boʻlsa, uchburchakning yuzini toping.

Yechimni ko'rish.

3. Tomonlari 13 sm, 14 sm va 15 sm boʻlgan ABC uchburchagi nuqtani tutashtiruvchi segmentlar orqali uchta uchburchakka boʻlinadi. M uchburchak medianalarining uchburchak uchlari bilan kesishgan joylari. Uchburchakning maydonini toping Dengiz floti.

Yechimni ko'rish.

4. Uchburchakning ikki tomoni 10 va 12 ga, uchinchisiga chizilgan medianasi esa 5 ga teng. Uchburchakning yuzini toping.

Yechimni ko'rish.

Ushbu sahifa juda keng tarqalgan axborot resursiga - ixtiyoriy uchburchakning maydonini tavsiflash va hisoblashga bag'ishlangan. Boshqa manbalardan farqi - maqolani o'qish jarayonida to'g'ridan-to'g'ri onlayn maydonni hisoblash

Balandligi va poydevori orqali maydon

Bu eslab qolishning eng oson formulasi. So'z bilan aytganda, bu formula shunday eshitiladi - Uchburchakning maydoni uchburchak poydevori va uning balandligining yarmiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakda bu ifoda yanada sodda ma'noni oladi: To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni ikki oyoqning ko'paytmasining yarmiga teng

uchburchakning tomonlari jihatidan maydon

Yon tomonlari bilan ifodalangan uchburchakning maydoni juda uzoq vaqtdan beri ma'lum - u miloddan avvalgi 1-asrga oid kitoblarda uchraydi.

Ushbu formulani turli yo'llar bilan ifodalash mumkin, chunki uchburchakning parametrlarini hisoblash uchun formulalar etarli.

Ammo, agar siz bizning eramizdan oldingi davrlar nuqtai nazaridan o'ylashga harakat qilsangiz, zamonaviy tasvirda formulalar bo'lmagan, ildizning o'zgaruvchanlari va belgilari yo'q edi, demak, Heron o'z formulasini yaratgan yagona aksioma edi. Pifagor teoremasi. Va o'sha kunlarda irratsional sonlar hali ma'lum emas edi va olimlar salbiy sonlar haqida juda shubhali qarashga ega edilar, aks ettirish uchun butun sonlar ishlatilgan.

Agar Heron o'zboshimchalik bilan Pifagor uchburchagini to'g'ri to'rtburchakga to'ldirib, uning maydonini hisoblab, ikkiga bo'lgan deb hisoblasak, isbotning o'zi bu erda bo'lmaydi.

Cho'qqi koordinatalari orqali maydon

Agar uchburchak uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa, maydon formulasini quyidagicha ifodalash mumkin:

Uchinchi tartibli determinant osongina parchalanadi va shuning uchun maydonni hisoblash, hatto qo'lda rejimda ham, hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi.

Ikki tomonning maydoni va ular orasidagi burchak

Yon va ikkita burchak bo'ylab kvadrat

Noyob vazifa, lekin bunday dastlabki ma'lumotlar uchun ham formula hisoblab chiqilgan. Diqqatli o'quvchi "xato" ni darhol ko'radi. Sarlavhada aytilishicha, maydon yon va ikkita burchak orqali, ya'ni uchta o'zgaruvchi orqali tan olinadi va to'rttasi ham formulada mavjud. Qanaqasiga?

Aslida, uchburchakning asosiy aksiomalaridan birini bilish xato bo'lmaydi uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi har doim (!!) 180 darajaga teng

Shuning uchun, uchburchakning ikkita burchagini bilish, uchinchisini topish qiyin narsa yo'q.

Uchburchakning medianalari orqali o'tgan maydon

Chiroyli formula, shunday emasmi?

ushbu bo'limni o'z ichiga oladi. Mediananing uchburchak tomoni bilan kesishish nuqtasi deyiladi mediananing asosi.

• Kontseptsiyani ham kiritish mumkin tashqi median uchburchak.

Entsiklopedik YouTube

1 / 3

✪ Uchburchakning bissektrisa va BAYIYLIKLARI ORTALARI - 7-sinf

✪ Uchburchakning medianasi. Qurilish. Xususiyatlari.

✪ bissektrisa, mediana, uchburchak balandligi. Geometriya 7-sinf

Subtitrlar

Xususiyatlari

Asosiy mulk

Uchburchakning barcha uchta medianasi bir nuqtada kesishadi, bu uchburchakning markazi yoki og'irlik markazi deb ataladi va bu nuqta tomonidan yuqoridan sanab 2: 1 nisbatda ikki qismga bo'linadi.

Teng yonli uchburchak medianalarining xossalari

• Teng yonli uchburchakda uchburchakning teng tomonlariga chizilgan ikkita mediana teng, uchinchi mediana esa bissektrisa va balandlikdir.
• Buning aksi ham to‘g‘ri: agar uchburchakdagi ikkita mediana teng bo‘lsa, u holda uchburchak teng yon tomonli, uchinchi mediana esa uning cho‘qqisidagi burchakning ham bissektrisasi, ham balandligi bo‘ladi.
• Teng tomonli uchburchakda uchta mediana tengdir.

Median asoslarning xossalari

•  to'qqiz nuqtali aylana uchun Eyler teoremasi: ixtiyoriy uchburchakning uchta balandligining asoslari, uning uch tomonining o'rta nuqtalari ( uning medianalarining asoslari) va uning uchlarini ortomarkaz bilan bog'laydigan uchta segmentning o'rta nuqtalari bir xil doirada yotadi (deb ataladi). to'qqiz nuqtali doira).
• Segment orqali asoslar uchburchakning istalgan ikki medianasi uningdir o'rta chiziq. Uchburchakning o'rta chizig'i har doim uchburchakning umumiy nuqtalari bo'lmagan tomoniga parallel bo'ladi.
  • Xulosa (teorema Tales haqida parallel segmentlar). Uchburchakning o'rta chizig'i uchburchakning parallel bo'lgan tomonining yarmiga teng.

Boshqa xususiyatlar

• Agar uchburchak bo'lsa ko'p tomonli (skalen), u holda uning istalgan tepadan chizilgan bissektrisasi mediana bilan bir xil cho'qqidan chizilgan balandlik o'rtasida yotadi.
• Mediana uchburchakni ikkita teng (maydon bo'yicha) uchburchakka ajratadi.
• Uchburchak uchta mediana bilan teng maydonga ega oltita uchburchakka bo'linadi.
• Medianlarni tashkil etuvchi segmentlardan siz uchburchak yasashingiz mumkin, uning maydoni butun uchburchakning 3/4 qismiga teng bo'ladi. Median uzunliklari uchburchak tengsizligini qanoatlantiradi.
• To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakli tepadan olingan mediana gipotenuzaning yarmiga teng.
• Uchburchakning uzun tomoni kichikroq medianaga to'g'ri keladi.
• To'g'ri segment, nosimmetrik yoki izogonal konjugat ichki bissektrisaga nisbatan ichki mediana uchburchakning simmediani deyiladi. Uch simediyachilar bir nuqtadan o'tish Lemoinning fikri.
• Uchburchak burchagining medianasi izotomik konjugatsiyalangan o'ziga.

Asosiy nisbatlar

Xususan, ixtiyoriy uchburchakning medianalari kvadratlari yig'indisi uning tomonlari kvadratlari yig'indisining 3/4 qismini tashkil qiladi: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• Aksincha, uchburchakning ixtiyoriy tomonining uzunligini medianalarda ifodalash mumkin: