În acest subiect voi scrie ceva ca o scurtă foaie de cheat despre erori. Din nou, acest text nu este în niciun fel oficial și trimiterea la el este inacceptabilă. Aș fi recunoscător pentru corectarea oricăror erori sau inexactități care ar putea fi în acest text.

Ce este eroarea?

Înregistrarea rezultatului unui experiment de forma () înseamnă că, dacă efectuăm o mulțime de experimente identice, atunci în 70% rezultatele obținute se vor afla în interval, iar în 30% nu.

Sau, ceea ce este același lucru, dacă repetăm ​​experimentul, atunci noul rezultat se va încadra în intervalul de încredere cu o probabilitate egală cu probabilitatea de încredere.

Cum să rotunjesc eroarea și rezultatul?

Eroarea este rotunjită până la prima cifră semnificativă, dacă nu este unul. Dacă unul - atunci până la doi. În același timp cifră semnificativă se numește orice cifră a rezultatului, cu excepția zerourilor inițiale.

Rotunjiți la sau sau dar sub nicio formă sau , deoarece există 2 cifre semnificative - 2 și 0 după cele două.

Rotunjiți la sau

Rotunjiți la sau sau

Rotunjim rezultatul astfel încât ultima cifră semnificativă a rezultatului să corespundă ultimei cifre semnificative a erorii.

Exemple intrare corectă:

mm

Hm, să păstrăm eroarea aici la 2 cifre semnificative, deoarece prima cifră semnificativă din eroare este una.

mm

Exemple intrare incorectă:

Mm. Aici semn suplimentar ca urmare. mm va fi corect.

mm. Aici semn suplimentar atât din eroare cât şi ca urmare. mm va fi corect.

În munca mea folosesc valoarea care mi-a fost dată doar ca număr. De exemplu, o masă de greutăți. Care este marja lui de eroare?

Dacă eroarea nu este indicată în mod explicit, puteți lua una în ultima cifră. Adică, dacă se scrie m = 1,35 g, atunci eroarea ar trebui luată ca fiind 0,01 g.

Există o funcție a mai multor cantități. Fiecare dintre aceste cantități are propria sa eroare. Pentru a găsi eroarea funcției, trebuie să faceți următoarele:

Simbolul înseamnă derivata parțială a lui f față de x. Citiți mai multe despre derivate parțiale.

Să presupunem că ai măsurat aceeași cantitate x de mai multe (n) ori. Am primit un set de valori. . Trebuie să calculați eroarea de împrăștiere, să calculați eroarea instrumentului și să le adăugați.

Punct cu punct.

1. Calculăm eroarea de răspândire

Dacă toate valorile coincid, nu aveți răspândire. În caz contrar, există o eroare de împrăștiere care trebuie calculată. Pentru început, se calculează eroarea pătratică medie a mediei:

Aici înseamnă media peste tot.
Eroarea de împrăștiere se obține prin înmulțirea erorii pătratice medii a mediei cu coeficientul Student, care depinde de probabilitatea de încredere pe care o alegeți și de numărul de măsurători n:

Luăm coeficienții lui Student din tabelul de mai jos. Probabilitatea de încredere este generată în mod arbitrar, numărul de măsurători n stim si noi.

2. Considerăm eroarea instrumentală a mediei

Dacă erorile diferitelor puncte sunt diferite, atunci conform formulei

Desigur, probabilitatea de încredere a tuturor ar trebui să fie aceeași.

3. Adăugați media cu spread-ul

Erorile se adună întotdeauna ca rădăcină a pătratelor:

În acest caz, trebuie să vă asigurați că probabilitățile de încredere cu care au fost calculate și coincid.

Cum se determină eroarea instrumentului a mediei dintr-un grafic? Ei bine, adică folosind metoda punctului pereche sau metoda celor mai mici pătrate, vom găsi eroarea în răspândirea rezistenței medii. Cum să găsiți eroarea de instrument a rezistenței medii?

Atât metoda celor mai mici pătrate, cât și metoda punctului pereche pot da un răspuns strict la această întrebare. Pentru forumul celor mai mici pătrate din Svetozarov există („Noțiuni de bază...”, secțiunea despre metoda celor mai mici pătrate), iar pentru punctele pereche primul lucru care vine în minte (în frunte, după cum se spune) este să calculați instrumentul eroarea fiecărui coeficient unghiular. Ei bine, mai departe în toate punctele...

Dacă nu vrei să suferi, atunci în cărțile de laborator există o modalitate simplă de a evaluări eroarea instrumentală a coeficientului unghiular, și anume din următorul MNC (de exemplu, înainte de lucrarea 1 din cartea de laborator „Aparate electrice de măsură....” ultima pagină de Recomandări metodologice).

Unde este abaterea maximă de-a lungul axei Y a unui punct cu o eroare față de linia dreaptă trasată, iar numitorul este lățimea ariei graficului nostru de-a lungul axei Y. La fel și pentru axa X.

Clasa de precizie este scrisă pe magazia de rezistență: 0,05/4*10^-6? Cum să găsesc eroarea instrumentului din asta?

Aceasta înseamnă că eroarea relativă maximă a dispozitivului (în procente) are forma:
, Unde
- valoarea cea mai mare a rezistenței magaziei și - valoarea nominală a rezistenței incluse.
Este ușor de observat că al doilea termen este important atunci când lucrăm la rezistențe foarte scăzute.

Mai multe detalii pot fi găsite întotdeauna în pașaportul dispozitivului. Pașaportul poate fi găsit pe internet introducând marca dispozitivului în Google.

Literatura despre erori

Multe mai multe informații despre acest subiect găsiți în cartea recomandată bobocilor:
V.V. Svetozarov „Prelucrarea elementară a rezultatelor măsurătorilor”

Ca literatură suplimentară (pentru boboci suplimentar) vă putem recomanda:
V.V. Svetozarov „Fundamentele prelucrării statistice a rezultatelor măsurătorilor”

Și cei care vor să înțeleagă totul în sfârșit ar trebui să se uite aici:
J. Taylor. „Introducere în teoria erorilor”

Vă mulțumim că ați găsit și postați aceste cărți minunate pe site-ul dvs.

Acest articol a fost realizat de echipa noastră experimentată de editori și cercetători, care l-au revizuit pentru acuratețe și completitudine.

Numărul de surse utilizate în acest articol: . Veți găsi o listă a acestora în partea de jos a paginii.

Eroarea absolută este eroarea reală făcută la măsurarea unei valori. Eroarea relativă compară eroarea absolută cu valoarea mărimii măsurate. Pentru a calcula eroarea relativă, trebuie găsită și eroarea absolută. Dacă măsurați un obiect a cărui lungime este de 12 cm și faceți o eroare de 6 cm, atunci eroarea relativă va fi uriașă. Dar dacă lungimea obiectului măsurat este de 12 m, iar eroarea este de 6 cm, atunci eroarea relativă va fi semnificativ mai mică, chiar și ținând cont de faptul că eroarea absolută (6 cm) nu s-a schimbat.

Pași

Calculul erorii absolute

Dacă vi se oferă o valoare așteptată, scădeți valoarea așteptată din ea pentru a calcula eroarea absolută.

De obicei, valoarea așteptată este găsită prin teste sau teste de laborator. Valoarea așteptată este cea mai precisă valoare a unei cantități care este utilizată în diferite calcule. Pentru a obține o eroare absolută, comparați măsurătorile cu valoarea așteptată - aceasta vă va spune cât de mult diferă rezultatele dvs. de valoarea așteptată. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scădeți valoarea pe care o obțineți din valoarea așteptată. Dacă diferența este negativă, transformați-o în pozitiv ignorând semnul minus. Veți obține o eroare absolută. Acum să presupunem că eroarea absolută este cea mai mică unitate de măsură.

• De exemplu, o bandă de măsurare are diviziuni milimetrice, adică cea mai mică unitate a sa este de 1 mm. Astfel puteți măsura distanța cu o precizie de ±1mm; în acest caz eroarea absolută este de 1 mm.

1. Acest lucru este valabil pentru orice instrument sau sistem de măsurare. De exemplu, multe instrumente științifice, cum ar fi balanțe de precizie și instrumente de măsură, sunt marcate cu o eroare absolută de „± ____”. Nu uitați să atribuiți unitățile de măsură adecvate.

   Să presupunem că eroarea absolută este de 2 m. Astfel de informații ne vor permite să vizualizăm magnitudinea erorii. Dar dacă notați că eroarea este 2, atunci această cifră nu înseamnă nimic. Utilizați aceleași unități pe care le-ați folosit la măsurători. Exersează cu câteva exemple.

   • Într-o lecție de chimie, ca urmare a unei reacții, un elev a primit o substanță cu o greutate de 32 g. Se știe că randamentul real al acestei reacții este de ± 2 g.
   • La ora de chimie, un elev are nevoie de 10 ml de apă pentru a provoca o reacție; în acest caz, eroarea picuratorului este „± 0,5 ml”. În acest caz, eroarea absolută de măsurare este de ±0,5 ml.

2. Înțelegeți ce cauzează eroarea și cum să o eliminați. Toate cercetările științifice implică erori – chiar și lucrările științifice pentru care sunt acordate premii Nobel conțin presupuneri sau erori. Dar dacă puteți identifica cauza erorii, este posibil să o puteți elimina.

Calculul erorii relative

Împărțiți eroarea absolută la valoarea reală a valorii testate. Așa se calculează eroarea relativă. Această formulă vă va permite să aflați cât de mult diferă valoarea pe care ați obținut-o de valoarea reală a valorii studiate. Desigur, este grozav dacă eroarea relativă este mică. Să continuăm să luăm în considerare exemplul de măsurare a distanței dintre doi copaci.

Înmulțiți rezultatul cu 100 pentru a exprima eroarea relativă ca procent. Puteți exprima eroarea relativă ca o fracție, o zecimală sau un procent - în acest caz, înmulțiți zecimala cu 100. Aceasta vă va spune ce procent din valoarea dumneavoastră reprezintă eroarea. Dacă măsurați lungimea unei bărci de 60 m și eroarea este de 0,6 m, procentul de eroare va fi semnificativ mai mic decât dacă calculați distanța dintre copaci (6 m) cu o eroare de 0,6 m Eroarea este un procent mic a valorii experimentale.

1. Introducere

Munca chimiștilor, fizicienilor și reprezentanților altor profesii din științe naturale implică adesea efectuarea de măsurători cantitative de diferite cantități. În acest caz, se pune problema analizei fiabilității valorilor obținute, procesării rezultatelor măsurătorilor directe și aprecierii erorilor de calcul care utilizează valorile caracteristicilor măsurate direct (cel din urmă proces se mai numește și procesarea rezultatelor). indirect măsurători). Din mai multe motive obiective, cunoștințele absolvenților Facultății de Chimie a Universității de Stat din Moscova despre calcularea erorilor nu sunt întotdeauna suficiente pentru prelucrarea corectă a datelor obținute. Unul dintre aceste motive este absența în programa facultății a unui curs de prelucrare statistică a rezultatelor măsurătorilor.

În acest moment, problema calculării erorilor a fost, desigur, studiată temeinic. Există un număr mare de dezvoltări metodologice, manuale etc., în care puteți găsi informații despre calcularea erorilor. Din păcate, majoritatea acestor lucrări sunt supraîncărcate cu informații suplimentare și nu întotdeauna necesare. În special, cea mai mare parte a lucrărilor atelierelor studenților nu necesită astfel de acțiuni precum compararea eșantioanelor, evaluarea convergenței etc. Prin urmare, pare oportun să se creeze o scurtă dezvoltare care să contureze algoritmii pentru calculele cele mai des utilizați, ceea ce reprezintă această dezvoltare. este dedicată.

2. Notație adoptată în această lucrare

Valoarea măsurată, - valoarea medie a valorii măsurate, - eroarea absolută a valorii medii a valorii măsurate, - eroarea relativă a valorii medii a valorii măsurate.

3. Calculul erorilor măsurătorilor directe

Deci, să presupunem că au fost efectuate n măsurători ale aceleiași mărimi în aceleași condiții. În acest caz, puteți calcula valoarea medie a acestei valori în măsurătorile efectuate:

(1)

Cum se calculează eroarea? După următoarea formulă:

(2)

Această formulă folosește coeficientul Student. Valorile sale la diferite probabilități de încredere și valori sunt date în.

3.1. Un exemplu de calcul al erorilor măsurătorilor directe:

Sarcină.

S-a măsurat lungimea barei de metal. Au fost efectuate 10 măsurători și s-au obținut următoarele valori: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Este necesar să se găsească valoarea medie a mărimii măsurate (lungimea barei) și eroarea acesteia.

Soluţie.

Folosind formula (1) găsim:

mm

Acum, folosind formula (2), găsim eroarea absolută a valorii medii cu probabilitate de încredere și numărul de grade de libertate (folosim valoarea = 2,262, luată din):

Să notăm rezultatul:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Calculul erorilor măsurătorilor indirecte

Să presupunem că în timpul experimentului se măsoară cantitățile si apoi c Folosind valorile obținute, valoarea este calculată folosind formula .

În acest caz, erorile mărimilor măsurate direct sunt calculate conform descrierii de la punctul 3.

Calculul valorii medii a unei cantități se efectuează în funcție de dependență folosind valorile medii ale argumentelor.

,(3)

Valoarea erorii se calculează folosind următoarea formulă:

Eroarea absolută, ca și în cazul măsurătorilor directe, se calculează folosind formula.

4.1. Un exemplu de calcul al erorilor măsurătorilor directe:

Sarcină.

Au fost efectuate 5 măsurători directe ale și. Pentru valoarea s-au obținut următoarele valori: 50, 51, 52, 50, 47; s-au obținut următoarele valori pentru cantitate: 500, 510, 476, 354, 520. Este necesar să se calculeze valoarea cantității determinate de formulă și să se găsească eroarea valorii obținute.

Științele naturii exacte se bazează pe măsurători. La măsurare, valorile cantităților sunt exprimate sub formă de numere care indică de câte ori cantitatea măsurată este mai mare sau mai mică decât o altă cantitate, a cărei valoare este luată ca unitate. Valorile numerice ale diferitelor cantități obținute ca urmare a măsurătorilor pot depinde unele de altele. Relația dintre astfel de cantități este exprimată sub formă de formule care arată cum valorile numerice ale unor cantități pot fi găsite din valorile numerice ale altora.

Erorile apar inevitabil în timpul măsurătorilor. Este necesară stăpânirea metodelor utilizate în prelucrarea rezultatelor obţinute în urma măsurătorilor. Acest lucru vă va permite să învățați cum să obțineți rezultate care sunt cele mai apropiate de adevăr dintr-un set de măsurători, să observați inconsecvențele și erorile în timp util, să organizați în mod inteligent măsurătorile în sine și să evaluați corect acuratețea valorilor obținute.

Dacă măsurarea constă în compararea unei mărimi date cu o altă mărime, omogenă, luată ca unitate, atunci măsurarea în acest caz se numește directă.

Măsurători directe (directe).- sunt masuratori in care obtinem valoarea numerica a marimii masurate fie prin comparatie directa cu o masura (etalon), fie cu ajutorul instrumentelor calibrate in unitati ale marimii masurate.

Cu toate acestea, o astfel de comparație nu se face întotdeauna direct. În cele mai multe cazuri, nu cantitatea care ne interesează este măsurată, ci alte cantități asociate cu ea prin anumite relații și tipare. În acest caz, pentru a măsura cantitatea necesară, este necesar să se măsoare mai întâi câteva alte mărimi, a căror valoare determină prin calcul valoarea mărimii dorite. Această măsurătoare se numește indirectă.

Măsurători indirecte constau din măsurători directe ale uneia sau mai multor mărimi asociate cu cantitatea determinată de o dependență cantitativă și calcule ale mărimii determinate din aceste date.

Măsurătorile implică întotdeauna instrumente de măsurare, care pun o valoare în corespondență cu alta asociată acesteia, accesibile evaluării cantitative cu ajutorul simțurilor noastre. De exemplu, puterea curentă este corelată cu unghiul de deviere al săgeții pe o scară gradată. În acest caz, trebuie îndeplinite două condiții principale ale procesului de măsurare: lipsa de ambiguitate și reproductibilitatea rezultatului. aceste două condiții sunt întotdeauna îndeplinite doar aproximativ. De aceea Procesul de măsurare conține, împreună cu găsirea valorii dorite, o evaluare a inexactității măsurătorii.

Un inginer modern trebuie să fie capabil să evalueze eroarea rezultatelor măsurătorilor ținând cont de fiabilitatea necesară. Prin urmare, se acordă multă atenție procesării rezultatelor măsurătorilor. Familiarizarea cu metodele de bază de calcul a erorilor este una dintre sarcinile principale ale atelierului de laborator.

De ce apar erori?

Există multe motive pentru care apar erori de măsurare. Să enumerăm câteva dintre ele.

· procesele care au loc în timpul interacțiunii dispozitivului cu obiectul de măsurat modifică inevitabil valoarea măsurată. De exemplu, măsurarea dimensiunilor unei piese cu ajutorul unui șubler duce la comprimarea piesei, adică la o modificare a dimensiunilor acesteia. Uneori, influența dispozitivului asupra valorii măsurate poate fi relativ mică, dar uneori este comparabilă sau chiar depășește valoarea măsurată în sine.

· Orice dispozitiv are capacități limitate de a determina fără ambiguitate valoarea măsurată datorită imperfecțiunii sale de proiectare. De exemplu, frecarea dintre diferitele părți din blocul indicator al unui ampermetru duce la faptul că o modificare a curentului cu o cantitate mică, dar finită, nu va determina o modificare a unghiului de deviere al indicatorului.

· În toate procesele de interacțiune a dispozitivului cu obiectul măsurării, este întotdeauna implicat mediul extern, ai cărui parametri se pot modifica și, de multe ori, într-un mod imprevizibil. Acest lucru limitează reproductibilitatea condițiilor de măsurare și, prin urmare, rezultatul măsurării.

· Când luați vizual citirile instrumentului, poate exista ambiguitate în citirea citirilor instrumentului din cauza capacităților limitate ale contorului nostru de ochi.

· Majoritatea mărimilor sunt determinate indirect pe baza cunoștințelor noastre despre relația dintre mărimea dorită și alte mărimi măsurate direct de instrumente. Evident, eroarea măsurătorilor indirecte depinde de erorile tuturor măsurătorilor directe. În plus, limitările cunoștințelor noastre despre obiectul măsurat, simplificarea descrierii matematice a relațiilor dintre mărimi și ignorarea influenței acelor mărimi a căror influență este considerată nesemnificativă în timpul procesului de măsurare contribuie la erori în măsurarea indirectă.

Clasificarea erorilor

Valoarea erorii măsurătorile unei anumite cantități sunt de obicei caracterizate prin:

1. Eroare absolută - diferența dintre valoarea găsită (măsurată) experimental și valoarea adevărată a unei anumite cantități

. (1)

Eroarea absolută arată cât de mult ne înșelam atunci când măsurăm o anumită valoare a lui X.

2. Eroarea relativă egală cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea adevărată a valorii măsurate X

Eroarea relativă arată cu ce fracție din valoarea adevărată a lui X ne înșelim.

Calitate Rezultatele măsurătorilor unei cantități sunt caracterizate de o eroare relativă. Valoarea poate fi exprimată ca procent.

Din formulele (1) și (2) rezultă că pentru a găsi erorile de măsurare absolute și relative, trebuie să cunoaștem nu numai valoarea măsurată, ci și valoarea adevărată a cantității care ne interesează. Dar dacă valoarea adevărată este cunoscută, atunci nu este nevoie să faceți măsurători. Scopul măsurătorilor este întotdeauna de a afla valoarea necunoscută a unei anumite cantități și de a găsi, dacă nu valoarea ei adevărată, atunci măcar o valoare care diferă destul de puțin de ea. Prin urmare, formulele (1) și (2), care determină amploarea erorilor, nu sunt potrivite în practică. În măsurătorile practice, erorile nu sunt calculate, ci mai degrabă estimate. Evaluările iau în considerare condițiile experimentale, acuratețea metodologiei, calitatea instrumentelor și o serie de alți factori. Sarcina noastră: să învățăm cum să construim o metodologie experimentală și să folosim corect datele obținute din experiență pentru a găsi valori ale cantităților măsurate care sunt suficient de apropiate de valorile adevărate și pentru a evalua în mod rezonabil erorile de măsurare.

Vorbind despre erorile de măsurare, ar trebui în primul rând să menționăm erori grave apărute din cauza supravegherii experimentatorului sau a defecțiunii echipamentului. Greșelile grave trebuie evitate. Dacă se stabilește că au avut loc, măsurătorile corespunzătoare trebuie aruncate.

Erorile experimentale care nu sunt asociate cu erorile grave sunt împărțite în aleatoare și sistematice.

Cuerori aleatorii. Repetând aceleași măsurători de multe ori, puteți observa că destul de des rezultatele lor nu sunt exact egale între ele, ci „dansează” în jurul unei medii (Fig. 1). Erorile care schimbă amploarea și semnul de la un experiment la altul se numesc aleatoare. Erorile aleatorii sunt introduse involuntar de către experimentator din cauza imperfecțiunii simțurilor, a factorilor externi aleatori etc. Dacă eroarea fiecărei măsurători individuale este fundamental imprevizibilă, atunci ele modifică aleatoriu valoarea mărimii măsurate. Aceste erori pot fi evaluate numai folosind procesarea statistică a măsurătorilor multiple ale cantității dorite.

Sistematic erori pot fi asociate cu erori de instrument (scara incorectă, arc care se întinde neuniform, pas neuniform șurubului micrometric, brațe de echilibrare inegale etc.) și cu experimentul în sine. Ei își păstrează amploarea (și semnul!) în timpul experimentului. Ca urmare a erorilor sistematice, rezultatele experimentale împrăștiate din cauza erorilor aleatoare nu fluctuează în jurul valorii adevărate, ci în jurul unei anumite valori părtinitoare (Fig. 2). eroarea fiecărei măsurători a valorii dorite poate fi prezisă în prealabil, cunoscând caracteristicile dispozitivului.

Calculul erorilor măsurătorilor directe

Erori sistematice. Erorile sistematice modifică în mod natural valorile mărimii măsurate. Erorile introduse în măsurători de către instrumente sunt cel mai ușor de evaluat dacă sunt asociate cu caracteristicile de proiectare ale instrumentelor în sine. Aceste erori sunt indicate în pașapoartele dispozitivelor. Erorile unor dispozitive pot fi evaluate fără a se face referire la fișa tehnică. Pentru multe instrumente electrice de măsurare, clasa lor de precizie este indicată direct pe scară.

Clasa de precizie a instrumentului- acesta este raportul dintre eroarea absolută a dispozitivului și valoarea maximă a mărimii măsurate, care poate fi determinată folosind acest dispozitiv (aceasta este eroarea relativă sistematică a acestui dispozitiv, exprimată ca procent din evaluarea scalei).

.

Atunci eroarea absolută a unui astfel de dispozitiv este determinată de relația:

.

Pentru instrumentele electrice de măsură au fost introduse 8 clase de precizie: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Cu cât valoarea măsurată este mai aproape de valoarea nominală, cu atât rezultatul măsurării va fi mai precis. Precizia maximă (adică cea mai mică eroare relativă) pe care o poate oferi un anumit dispozitiv este egală cu clasa de precizie. Această circumstanță trebuie luată în considerare atunci când se utilizează instrumente multiscale. Scara trebuie selectată în așa fel încât valoarea măsurată, rămânând în interiorul scalei, să fie cât mai aproape de valoarea nominală.

Dacă nu este specificată clasa de precizie pentru dispozitiv, atunci trebuie respectate următoarele reguli:

· Eroarea absolută a instrumentelor cu vernier este egală cu precizia vernierului.

· Eroarea absolută a instrumentelor cu pas fix săgeată este egală cu valoarea diviziunii.

· Eroarea absolută a dispozitivelor digitale este egală cu o cifră minimă.

· Pentru toate celelalte instrumente, eroarea absolută se presupune a fi egală cu jumătate din valoarea diviziunii.

Erori aleatorii. Aceste erori sunt de natură statistică și sunt descrise de teoria probabilității. S-a stabilit că, cu un număr foarte mare de măsurători, probabilitatea de a obține unul sau altul rezultat în fiecare măsurătoare individuală poate fi determinată folosind distribuția normală Gaussiană. Cu un număr mic de măsurători, descrierea matematică a probabilității de a obține unul sau altul rezultat al măsurătorilor se numește distribuția Student (puteți citi mai multe despre aceasta în manualul „Erori de măsurare a mărimilor fizice”).

Cum se evaluează adevărata valoare a mărimii măsurate?

Să presupunem că la măsurarea unei anumite valori am primit N rezultate: . Media aritmetică a unei serii de măsurători este mai aproape de valoarea adevărată a mărimii măsurate decât majoritatea măsurătorilor individuale. Pentru a obține rezultatul măsurării unei anumite valori, se folosește următorul algoritm.

1). Calculat medie aritmetică serie de N măsurători directe:

2). Calculat eroare aleatorie absolută a fiecărei măsurători este diferența dintre media aritmetică a unei serii de N măsurători directe și această măsurătoare:

.

3). Calculat eroare pătrată medie absolută:

.

4). Calculat eroare aleatorie absolută. Cu un număr mic de măsurători, eroarea aleatorie absolută poate fi calculată prin eroarea pătratică medie și un anumit coeficient numit coeficient Student:

,

Coeficientul Student depinde de numărul de măsurători N și de coeficientul de fiabilitate (Tabelul 1 arată dependența coeficientului Student de numărul de măsurători la o valoare fixă ​​a coeficientului de fiabilitate).

Factorul de fiabilitate este probabilitatea cu care valoarea adevărată a valorii măsurate se încadrează în intervalul de încredere.

Interval de încredere este un interval numeric în care valoarea adevărată a mărimii măsurate se încadrează cu o anumită probabilitate.

Astfel, coeficientul Student este numărul cu care trebuie înmulțită eroarea pătratică medie pentru a asigura fiabilitatea specificată a rezultatului pentru un anumit număr de măsurători.

Cu cât este mai mare fiabilitatea necesară pentru un anumit număr de măsurători, cu atât este mai mare coeficientul Student. Pe de altă parte, cu cât numărul de măsurători este mai mare, cu atât coeficientul Student este mai mic pentru o anumită fiabilitate. În munca de laborator a atelierului nostru, vom presupune că fiabilitatea este dată și egală cu 0,9. Valorile numerice ale coeficienților lui Student pentru această fiabilitate pentru diferite numere de măsurători sunt date în Tabelul 1.

Tabelul 1

Numărul de măsurători N

Coeficientul elevului

5). Calculat eroare absolută totală.În orice măsurătoare, există atât erori aleatoare, cât și erori sistematice. Calcularea erorii de măsurare absolută totală (totală) nu este o sarcină ușoară, deoarece aceste erori sunt de natură diferită.

Pentru măsurătorile de inginerie, este logic să însumăm erorile absolute sistematice și aleatorii

.

Pentru simplitatea calculelor, se obișnuiește să se estimeze eroarea absolută totală ca sumă a erorilor absolute aleatoare și absolute sistematice (instrumentale), dacă erorile sunt de același ordin de mărime, și să se neglijeze una dintre erori dacă este mai mult de un ordin de mărime (de 10 ori) mai mic decât celălalt.

6). Eroarea și rezultatul sunt rotunjite. Deoarece rezultatul măsurării este prezentat ca un interval de valori, a cărui valoare este determinată de eroarea absolută totală, este importantă rotunjirea corectă a rezultatului și a erorii.

Rotunjirea începe cu eroare absolută!!! Numărul de cifre semnificative rămase în valoarea erorii, în general, depinde de coeficientul de fiabilitate și de numărul de măsurători. Cu toate acestea, chiar și pentru măsurători foarte precise (de exemplu, astronomice), în care valoarea exactă a erorii este importantă, nu lăsați mai mult de două cifre semnificative. Un număr mai mare de numere nu are sens, deoarece definiția erorii în sine are propria sa eroare. În atelierul nostru există un coeficient de fiabilitate relativ mic și un număr mic de măsurători. Prin urmare, la rotunjire (cu exces), eroarea absolută totală este lăsată la o cifră semnificativă.

Cifra cifrei semnificative a erorii absolute determină cifra primei cifre îndoielnice din valoarea rezultatului. În consecință, valoarea rezultatului în sine trebuie rotunjită (cu corecție) la acea cifră semnificativă a cărei cifră coincide cu cifra cifrei semnificative a erorii. Regula formulată ar trebui aplicată și în cazurile în care unele numere sunt zero.

Dacă rezultatul obținut la măsurarea greutății corporale este , atunci este necesar să scrieți zerouri la sfârșitul numărului 0,900. Înregistrarea ar însemna că nu se știe nimic despre următoarele cifre semnificative, în timp ce măsurătorile au arătat că acestea sunt zero.

7). Calculat eroare relativă.

La rotunjirea erorii relative, este suficient să lăsați două cifre semnificative.

r rezultatul unei serii de măsurători a unei anumite mărimi fizice este prezentat sub forma unui interval de valori, indicând probabilitatea ca valoarea adevărată să cadă în acest interval, adică rezultatul trebuie scris sub forma:

Aici este eroarea absolută totală, rotunjită la prima cifră semnificativă, și este valoarea medie a valorii măsurate, rotunjită ținând cont de eroarea deja rotunjită. Când înregistrați un rezultat de măsurare, trebuie să indicați unitatea de măsură a valorii.

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Să presupunem că la măsurarea lungimii unui segment, am primit următorul rezultat: cm și cm Cum se notează corect rezultatul măsurării lungimii unui segment? În primul rând, rotunjim eroarea absolută cu exces, lăsând o cifră semnificativă, vezi Cifra semnificativă a erorii la locul sutimilor. Apoi, cu corecția, rotunjim valoarea medie la cea mai apropiată sutime, adică la cifra semnificativă a cărei cifră coincide cu cifra cifrei semnificative a erorii. vezi Calcularea erorii relative

.

cm; ; .

2. Să presupunem că la calcularea rezistenței conductorului am obținut următorul rezultat: Şi . În primul rând, rotunjim eroarea absolută, lăsând o cifră semnificativă. Apoi rotunjim media la cel mai apropiat număr întreg. Calculați eroarea relativă

.

Scriem rezultatul măsurătorii după cum urmează:

; ; .

3. Să presupunem că la calcularea masei sarcinii am primit următorul rezultat: kg și kg. În primul rând, rotunjim eroarea absolută, lăsând o cifră semnificativă kg. Apoi rotunjim media la cele mai apropiate zeci kg. Calculați eroarea relativă

. .

Întrebări și sarcini privind teoria erorilor

1. Ce înseamnă măsurarea unei mărimi fizice? Dați exemple.

2. De ce apar erori de măsurare?

3. Ce este eroarea absolută?

4. Ce este eroarea relativă?

5. Ce eroare caracterizează calitatea măsurării? Dați exemple.

6. Ce este un interval de încredere?

7. Definiți conceptul de „eroare sistematică”.

8. Care sunt cauzele erorilor sistematice?

9. Care este clasa de precizie a unui dispozitiv de măsurare?

10. Cum se determină erorile absolute ale diferitelor instrumente fizice?

11. Ce erori se numesc aleatoare și cum apar ele?

12. Descrieți procedura de calcul al erorii pătratice medii.

13. Descrieți procedura de calcul al erorii aleatoare absolute a măsurătorilor directe.

14. Ce este un „factor de fiabilitate”?

15. De ce parametri și cum depinde coeficientul Student?

16. Cum se calculează eroarea absolută totală a măsurătorilor directe?

17. Scrieți formule pentru determinarea erorilor relative și absolute ale măsurătorilor indirecte.

18. Formulați regulile de rotunjire a rezultatului cu o eroare.

19. Găsiți eroarea relativă în măsurarea lungimii peretelui folosind o bandă de măsurare cu o valoare a diviziunii de 0,5 cm. Valoarea măsurată a fost de 4,66 m.

20. La măsurarea lungimii laturilor A și B ale dreptunghiului s-au făcut erori absolute ΔA și, respectiv, ΔB. Scrieți o formulă pentru a calcula eroarea absolută ΔS obținută la determinarea ariei din rezultatele acestor măsurători.

21. Măsurarea lungimii muchiei cubului L a avut o eroare ΔL. Scrieți o formulă pentru a determina eroarea relativă a volumului unui cub pe baza rezultatelor acestor măsurători.

22. Un corp mișcat uniform accelerat dintr-o stare de repaus. Pentru a calcula accelerația, am măsurat calea S parcursă de corp și timpul de mișcare t. Erorile absolute ale acestor măsurători directe au fost ΔS și, respectiv, Δt. Deduceți o formulă pentru a calcula eroarea relativă de accelerație din aceste date.

23. La calcularea puterii dispozitivului de încălzire în funcție de datele de măsurare, s-au obținut valorile Pav = 2361,7893735 W și ΔР = 35,4822 W. Înregistrați rezultatul ca interval de încredere, rotunjind după cum este necesar.

24. La calcularea valorii rezistenței pe baza datelor de măsurare, s-au obținut următoarele valori: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Înregistrați rezultatul ca interval de încredere, rotunjind după cum este necesar.

25. La calcularea coeficientului de frecare pe baza datelor de măsurare, s-au obținut valorile μav = 0,7823735 și Δμ = 0,03348. Înregistrați rezultatul ca interval de încredere, rotunjind după cum este necesar.

26. Un curent de 16,6 A a fost determinat folosind un dispozitiv cu o clasă de precizie de 1,5 și o scară nominală de 50 A. Aflați erorile instrumentale absolute și relative ale acestei măsurători.

27. Într-o serie de 5 măsurători ale perioadei de oscilație a pendulului, s-au obținut următoarele valori: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Găsiți eroarea aleatorie absolută în determinarea perioadei din aceste date.

28. Experimentul de a cădea o încărcătură de la o anumită înălțime a fost repetat de 6 ori. În acest caz, s-au obținut următoarele valori ale timpului de cădere a sarcinii: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Găsiți eroarea relativă în determinarea timpului căderii.

Valoarea diviziunii este o valoare măsurată care face ca indicatorul să devieze cu o diviziune. Valoarea diviziunii este determinată ca raportul dintre limita superioară de măsurare a dispozitivului și numărul de diviziuni ale scării.

Lucrare de laborator nr 1.

Calculul erorilor de capacitate folosind coeficientul Student.

Calculul erorii de măsurare a puterii și rezistenței

Obiectivele lecției:

Educatia generala– Abilitatea de a rezolva probleme pe tema erorii.

Dezvoltare - Aprofundarea cunoștințelor.

Educațional– Verificați formarea calităților cunoștințelor.

Partea teoretică

Se numește abaterea rezultatului măsurării de la valoarea măsurată adevărată eroare măsurători.

Eroarea absolută de măsurare ΔA este egală cu diferența dintre rezultatul măsurării Ax și valoarea reală a valorii măsurate A:

ΔA = Ax – A (1)

Adevărata eroare relativă reprezintă raportul dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea reală a valorii măsurate, exprimată ca procent:

(2)

Eroare relativă nominală, egal cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea măsurată a cantității studiate,

aceste. la citirea instrumentului

(3)

Eroarea relativă redusă măsurarea este raportul dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea maximă a dispozitivului de măsurare

(4)

Pentru dispozitivele cu o scară pe două fețe, A max este definită ca suma valorilor absolute ale limitelor de măsurare pozitive și negative.

Dacă scara nu începe de la zero, ci de la o valoare minimă, atunci A max este egal cu diferența dintre valorile finale și inițiale ale scalei.

Aleatoriu se numesc erori care se modifică aleator cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi. Erorile aleatorii nu pot fi excluse experimental, deoarece apar întâmplător. Pentru a elimina erorile aleatoare, se fac măsurători repetate și se determină media aritmetică a valorilor obținute, definită ca

,

unde a 1, a 2, ... și n sunt rezultatele măsurătorilor individuale;

n – numărul de măsurători.

Pentru a evalua acuratețea rezultatului măsurării, este necesar să se cunoască legea distribuției erorilor aleatoare, această lege este legea Gaussiană normală. Abaterea standard poate fi exprimată în termeni de abateri aleatorii ale rezultatelor observației P:

unde P 1 = a 1 – A avg; P 2 = a 2 – A medie; P n = a n – A medie.

Această metodă de determinare a intervalelor de încredere este valabilă numai pentru un număr mare de măsurători (20-30). Pentru un număr mic de măsurători, pentru a determina intervalul de încredere, trebuie să utilizați coeficienții Student t n, care depind de probabilitatea de încredere specificată P și de numărul de măsurători n.

Pentru a determina intervalul de încredere, eroarea pătratică medie trebuie înmulțit cu coeficientul Student. Rezultatul final al măsurătorii poate fi scris după cum urmează:

A = Acr tn

Sarcina de testare

Sarcina 1. Pentru a reduce influența erorilor aleatorii asupra rezultatului măsurării, capacitatea condensatorului C a fost măsurată în mod repetat în aceleași condiții (Tabelul 1). Presupunând că erorile aleatoare au o lege de distribuție normală, determinați pe baza unui număr dat de măsurători (Tabelul 1, Tabelul 2):

Valoarea reală a capacității măsurate;

Erorile pătratice medii și maxime ale unei singure măsurători;

Interval de încredere pentru rezultatul măsurării cu probabilitatea de încredere P d (Tabelul 3).

Există o componentă sistematică în eroarea de măsurare a capacității și cu ce probabilitate de încredere poate fi estimată dacă luăm valorile lui C av ca valoare reală a capacității (Tabelul 1, Tabelul 2).

Tabelul 1

Tabelul 2

Nota. Numărul și numărul de observații ale valorilor capacității pentru fiecare opțiune sunt determinate de datele din tabelele 1 și 2, de exemplu, pentru opțiunea 1, ar trebui să luați rezultatele măsurătorii 1-3 din tabelul 2.

Indicații către soluție

Pentru confortul efectuării și verificării calculelor pentru o sarcină, este recomandabil să prezentați calculul intermediar sub forma unui tabel

Tabelul 3

	observatii		Сi – Сaver, pF	(Ci – Csr) 2, pF
		Suma Ci, pF	Suma Сi – Сaver, pF	Suma (Ci – Cavg) 2, pF

Sarcina 2. . Folosind formule (1-7 exemple) calculați erorile absolute și relative în măsurarea puterii și rezistenței. Calculul este efectuat în conformitate cu opțiunile specificate în sarcină.

Sarcina 1. Pentru a determina rezistența rezistenței și puterea disipată pe această rezistență, se măsoară tensiunea și curentul. Cunoscând parametrii de bază ai instrumentelor de măsură (ampermetru și voltmetru), determinați eroarea în măsurători indirecte de putere și rezistență.

Exemplu. Determinați erorile absolute și relative în măsurarea puterii degajate pe rezistor, dacă citirile voltmetrului sunt cunoscute: clasa de precizie Kv = 2,5, valoarea nominală Umax = 150 V, citire 120 V și citirile ampermetrului - clasa de precizie K A = 1,0, scară nominală valoare 10 MA, citiri 6 MA.

Soluţie:

Determinați puterea P = U * I (W)

Eroarea de măsurare a tensiunii absolute, V

Eroarea absolută a măsurării curentului, M A

În conformitate cu tabelul, eroarea de măsurare a puterii absolute, W

Eroare relativă

Nota:

Pentru a calcula erorile de măsurare a puterii, se folosesc formulele 1,2,3,4,

Pentru a calcula erorile în măsurătorile de rezistență, se folosesc formulele 2,3,5,6,7.

Formule de finalizare a testelor și a examenelor scrise la disciplina „Măsurări electrice”

1.Eroare absolută de măsurare

ΔA = Ax – A

2. Eroarea relativă reală

3 Eroarea relativă nominală

4.Eroare relativă redusă

Rezistență la șunt

R Ш = R ​​​​А/Р-1 (Ohm)

6 .Rezistenta suplimentara

R ADD = R V * (P-1) (Ohm)

Raportul de transformare curent:

8 Raportul de transformare a tensiunii:

9 . Curent de retea:

I C = K i * I (A)

Tensiune de rețea:

U C = K U * U (V)

Putere activă în rețea:

P C = K i * K U *P (W)

Puterea reactivă a rețelei:

Q = U*I* sinφ (Var)

Puterea totală a rețelei:

14. impedanța rețelei:

Z C = U C / I C (Ohm)

15 factor de putere:

Cosφ = P C / S C

Contor constant nominal O:

CU NOM = W NOM / N NOM (W*s/rev)

Constanta contor real:

C = (U*I*t / N) (W*s/tur)

18 Factorul de corecție:

K= C/C NOM

Eroare relativă a contorului

Β = [(C NOM - C) /C NOM ] * 100%