Тема урока:

«Перпендикулярные прямые в пространстве»

«Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости».

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

Учитель МОУ СОШ №34

г. Комсомольска-на-Амуре

Есина Е.В.

• Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
• Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
• Дать определение перпендикулярности прямой и плоскости;
• Доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости.

• Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?
• Какие прямые в планиметрии называются перпендикулярными?

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

• Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, угол ВА D равен 30 0 . Найдите углы между прямыми АВ и А 1 D 1 ; А 1 В 1 и А D ; АВ и В 1 С 1 .

В 1

С 1

А 1

D 1

30 0

Модель куба.

• Как называются

прямые АВ и ВС?

В пространстве

перпендикулярные прямые

могут пересекаться

и могут скрещиваться.

• Найдите угол между

прямыми АА 1 и DC ;

ВВ 1 и А D .

D 1

С 1

В 1

А 1

D

С

А

В

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве

называются перпендикулярными

( взаимно перпендикулярными ),

если угол между ними равен 90 ° .

Обозначается a ┴ b

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Рассмотрим прямые АА 1 , СС 1 и DC .

Если одна из параллельных

прямых перпендикулярна

к третьей прямой, то и другая

прямая перпендикулярна

к этой прямой.

АА1 ‌ ‌ ǁ СС 1 ; DC СС 1

D 1

С 1

АА 1 DC

А 1

В 1

D

С

А

В

Свойства:

1 . Если плоскость перпендикулярна одной

• из двух параллельных прямых,
• то она перпендикулярна другой
• прямой. (a ⊥ α b и a II b = b ⊥ α)

• 2 . Если две прямые перпендикулярны
• одной и той же плоскости,
• то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α = a II b)

• 3 . Если прямая перпендикулярна
• одной из двух параллельных
• плоскостей, то она перпендикулярна
• и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α = a ⊥ β)

a II β)" width="640"

Свойства:

• 4 . Если две различные плоскости
• перпендикулярны одной и той же прямой,
• то эти плоскости параллельны.
• (a ⊥ α и a ⊥ β = a II β)

• 5. Через любую точку пространства можно
• провести прямую, перпендикулярную
• данной плоскости, и притом только одну.

• 6. Через любую точку прямой можно
• провести плоскость, перпендикулярную ей
• и притом только одну.

Найдите угол между прямой АА 1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, А D , АС, В D , М N .

Прямая называется

перпендикулярной к плоскости,

если она перпендикулярна к

любой прямой, лежащей

в этой плоскости.

90 0

D 1

С 1

90 0

В 1

А 1

90 0

D

90 0

С

М

90 0

А

В

N

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: прямая а параллельна прямой а 1 и

перпендикулярна плоскости α .

Доказать: а 1 α

а 1

а

х

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

M

c

b

а

b 1

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

• Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

а

А

р

Р

l

q

Q

O

m

L

B

Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости. Дан куб. Определи, какая из перечисленных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?

а) плоскости (ABC) перпендикулярна B1C1, AC1, BD1, AC, AA1, BD, AB

б) плоскости (BDD1) перпендикулярна AC, AA1, B1C1, AC1, AB, BD1, BD

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости.

Прямая PQ параллельна плоскости α.

От точек P и Q к плоскости проведены прямые PP1⊥α и QQ1⊥α. Известно, что PQ=PP1=19,8 см.

Определи вид четырехугольника PP1Q1Q и найди его периметр.

2. PPP1Q1Q= см

Перпендикулярность прямой к плоскости.

Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая пересекает плоскость в точке O.

На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной точкой этого отрезка.

Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD= 24 см, а OB= 5 см (ответ округли до одной десятой).

Прямые, перпендикулярные к плоскости.

Две прямые образуют прямой угол с плоскостью α.

Длина отрезка KN= 96,5cм, длина отрезка LM= 56,5 см.

Рассчитай расстояние NM, если KL=41 см.

Перпендикуляр к плоскости квадрата.

К плоскости квадрата ABCD со стороной 7 см через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата.

На прямой отложен отрезок OK длиной 5 см.

Рассчитай расстояние от точки K к вершинам квадрата (результат округли до одной десятой).

Доказательство перпендикулярности скрещивающихся прямых.

Известно, что в тетраэдре DABC ребро DA

перпендикулярно ребру BC.

На ребрах DC и DB расположены

серединные точки K и L.

Докажи, что DA перпендикулярно KL.

• Так как K и L - серединные точки DC и DB,

то KL -…… треугольника CBD.

2. Средняя линия ….. третьей стороне треугольника, то есть BC.

Если DA перпендикулярна одной из …… прямых, то она ….. и другой прямой.

Признак перпендикулярности прямой к плоскости.

• В тетраэдре DABC точка M серединная точка ребра CB.

Известно, что в этом тетраэдре AC=ABDC=DB

Докажи, что прямая, на которой находится ребро CB, перпендикулярна плоскости (ADM).

1. Определи вид треугольников.

2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников?

Ответ: градусов.

3. Согласно признаку, если прямая к прямым в некой плоскости, то она к этой плоскости.

Свойство прямой перпендикулярной к плоскости.

Через вершину прямого угла C к плоскости прямоугольного треугольника ABC проведена перпендикулярная прямая KC.

Точка D - серединная точка гипотенузы AB.

Длина катетов треугольника AC = 48 мм и BC = 64 мм.

Расстояние KC = 42 мм. Определи длину отрезка KD.

(сложное) Доказательство от противного.

• Прямая d перпендикулярна плоскости α и прямой m, которая не лежит в плоскости α.
• Докажи, что прямая m параллельна плоскости α.

1. Согласно данной информации, если прямая не лежит в плоскости, она может или быть …плоскости, или … плоскость.

2. Допустим, что прямая m не ….., а …..плоскость α.

3. Если прямая d по данной информации перпендикулярна плоскости α, то она …… каждой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой, которая проведена через точки, в которых плоскость пересекает прямые d и m.

4. Мы имеем ситуацию, когда через одну точку к прямой d проведены две …… прямые.

5. Это противоречие, из чего следует, что прямая m….. плоскости α, что и требовалось доказать.

Домашнее задание

• П.15,16

Например, перпендикулярность прямых m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} записывают как m ⊥ n {\displaystyle m\perp n} .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскости

✪ стереометрия ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости

✪ Перпендикулярность прямой и плоскости. Геометрия 10-11 классы. Урок 7

✪ стереометрия ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ

✪ 10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве

Субтитры

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями y = tg ⁡ α 1 x + b 1 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{1}x+b_{1}} и y = tg ⁡ α 2 x + b 2 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{2}x+b_{2}} будут перпендикулярны, если выполнено условие α 2 = 1 2 π + α 1 {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\pi +\alpha _{1}} . Эти же прямые будут перпендикулярны, если tg ⁡ α 1 tg ⁡ α 2 = − 1 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}=-1} . (Здесь α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} - углы наклона прямой к горизонтали)

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный ) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А" и В".

Шаг 2: (зелёный ) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A" и В" соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий ) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

A (x a , y a) {\displaystyle A(x_{a},y_{a})} и B (x b , y b) {\displaystyle B(x_{b},y_{b})} - прямая, O (x o , y o) {\displaystyle O(x_{o},y_{o})} - основание перпендикуляра, опущенного из точки P (x p , y p) {\displaystyle P(x_{p},y_{p})} .

Если x a = x b {\displaystyle x_{a}=x_{b}} (вертикаль), то x o = x a {\displaystyle x_{o}=x_{a}} и y o = y p {\displaystyle y_{o}=y_{p}} . Если y a = y b {\displaystyle y_{a}=y_{b}} (горизонталь), то x o = x p {\displaystyle x_{o}=x_{p}} и y o = y a {\displaystyle y_{o}=y_{a}} .

Во всех остальных случаях:

x o = x a ⋅ (y b − y a) 2 + x p ⋅ (x b − x a) 2 + (x b − x a) ⋅ (y b − y a) ⋅ (y p − y a) (y b − y a) 2 + (x b − x a) 2 {\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}} ; y o = (x b − x a) ⋅ (x p − x o) (y b − y a) + y p {\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}} .

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости

Определение : Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак : Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость , перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

В многомерных пространствах

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t . Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно (4 2) = 6 {\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6} : xy , xz , xt , yz , yt , zt , и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz , yz и zt ), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt , yz и xt ).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство W n {\displaystyle W^{n}} , а прямая l L 1 {\displaystyle L^{1}} и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где L 1 ⊂ W n {\displaystyle L_{1}\subset W^{n}} , L k ⊂ W n , k < n {\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k) принадлежат пространству R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Π k {\displaystyle \Pi _{k}} , если подпространство L 1 {\displaystyle L_{1}} ортогонально подпространству L k {\displaystyle L^{k}} , то есть (∀ a → ∈ L 1) (∀ b → ∈ L k) a → b → = 0 {\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in L_{1})\ (\forall {\vec {b}}\in L_{k})\ {\vec {a}}{\vec {b}}=0}

Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.

Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90 о.

Одноклассники

Теоретическая часть

Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.

Определение:

прямая будет называться перпендикулярной плоскости, когда она перпендикулярна прямой на поверхности, произвольно проходящей через точку пересечения.

Иначе говоря, если отрезок «АВ» перпендикулярен плоскости α, тогда угол пересечения со всяким отрезком, проведённым по данной поверхности через «С» точку прохождения «АВ» через плоскость α, будет 90 о.

Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:

в случае если прямая, проведённая через плоскость, будет перпендикулярна двум прямым, проведённым на плоскости через точку пересечения, то она перпендикулярна целой плоскости.

Говоря другими словами, если на рисунке 1 углы ACD и ACE равны 90 о, то и угол ACF тоже будет 90 о. Смотреть рисунок 3.

Доказательство

По условиям теоремы линия «а» проведена перпендикулярно линиям d и e. Иначе говоря, углы ACD и ACE равны 90 о. Приводить доказательства будем, исходя из свойств равенства треугольников. Смотреть рисунок 3.

Через точку C прохождения линии a через плоскость α прочертим линию f в произвольном направлении. Приведём доказательства, что она будет перпендикулярна отрезку AB или угол ACF будет 90 о.

На прямой a отложим отрезки одинаковой длины AC и AB. На поверхности α проведём линию x в произвольном направлении и не проходящую через место пересечения в точке «С». Линия «х» должна пересекать линии e, d и f.

Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.

Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:

1. Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
2. У них дна общая сторона CE.
3. Два равных угла ACE и BCE — по 90 о.

Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.

Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.

Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.

Сумма углов ADE и ADF составляет 180 о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180 о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.

Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.

Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90 о. Что и следовало доказать.

Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:

если две параллельные пересекают плоскость и одна из них составляет угол 90 о, то и вторая походит через плоскость под углом 90 о.

По условиям задачи a и b являются параллельными. Смотреть рисунок 4. Линия a перпендикулярна поверхности α. Отсюда следует, что линия b будет также перпендикулярна поверхности α.

Для доказательства через две точки пересечения параллельных прямых с плоскостью проведём на поверхности прямую c . По теореме о прямой, перпендикулярной плоскости, угол DAB будет 90 о. Из свойств параллельных прямых следует, что угол ABF тоже будет 90 о. Следовательно, по определению прямая b будет перпендикулярна поверхности α.

Использование теоремы для решения задач

Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.

Задача № 1

Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.

На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c .

Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.

Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.

Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.

Задача № 2

Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:

• угол DBF будет 90 о
• сторона BD =12 см;
• сторона BF =16 см;
• BC - медиана.

Смотреть рисунок 6.

Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.

Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400; извлекая квадратный корень, получаем 20.

Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.

Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).

Ответ: Длина отрезка АС равняется 26 см.

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.

Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Вот картинка:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Формулируем:

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример .

Пусть нам дан правильный тетраэдр.

Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.

Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

• Если, то проходит через перпендикуляр к.

• Если проходит через перпендикуляр к, то.

(естественно, здесь и - плоскости).

Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

И пишем ответ: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых . Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b .

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданыуравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b . Обозначим направляющие векторы прямых а и b как и соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

Итак, a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Перпендикулярны ли прямые АВ и АС ?

Решение.

Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС . Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС . Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Направляющий вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и - направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Ответ:

прямые перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b .

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида , уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Пример.

Убедитесь, что прямые и перпендикулярны.

Решение.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – вида , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами .

Пример.

Перпендикулярны ли прямые и ?

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

Очевидно, - нормальный вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов(не существует такого действительного числа t , при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

прямые не перпендикулярны.

21. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M 1 , не лежащая на прямой a . Проведем через точку M 1 прямую b , перпендикулярную прямой a . Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром , проведенным из точки M 1 к прямой a .

Определение.

Расстоянием от точки M 1 до прямой a называют расстояние между точками M 1 и H 1 .

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M 1 . Отрезок M 1 Q называютнаклонной , проведенной из точки M 1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M 1 QH 1 прямоугольный с гипотенузой M 1 Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

22. Плоскость в пространстве R3. Уравнение плоскости.

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением, которое называется общим уравнением плоскости.

Определение. Вектор перпендикулярен плоскости и называется ее нормальным вектором.

Если в прямоугольной системе координат известны координаты трех точек , не лежащих на одной прямой, то уравнение плоскости записывается в виде: .

Вычислив данный определитель, получим общее уравнение плоскости.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение:

Уравнение плоскости: .

23. Исследование общего уравнения плоскости.

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точкуM 0 (x 0 , y 0 , z 0), перпендикулярно вектору , имеет вид

A (x-x 0)+ B (y-y 0) + C (z-z 0)= 0. (3.22)

Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

.Ax + By+ Cz + (-Ax 0 - By -Cz 0)= 0

ОбозначивD = -Ax 0 - By -Cz 0 , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору , если A (4, -3, 1), B (1, 2, 3).

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

Ответ: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (-1, 2, -1), перпендикулярно оси OZ .

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, , тогда уравнение плоскости

Ответ: z + 1 = 0.

24. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве задана точка М 1 и плоскость . Проведем через точку М 1 прямую a , перпендикулярную к плоскости . Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называют перпендикуляром , опущенным из точки М 1 на плоскость , а точку H 1 – основанием перпендикуляра .

Определение.

– это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

Следует отметить, что расстояние от точки М 1 до плоскости , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М 1 до любой точки плоскости . Действительно, пусть точка H 2 лежит в плоскости и отлична от точки H 1 . Очевидно, треугольник М 2 H 1 H 2 является прямоугольным, в нем М 1 H 1 – катет, а M 1 H 2 – гипотенуза, следовательно, . Кстати, отрезок M 1 H 2 называется наклонной , проведенной из точки М 1 к плоскости . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

Если прямая проходит через две заданные точки , то ее уравнение записывают в виде: .

Определение. Вектор называется направляющим вектором прямой, если он параллелен или принадлежит ей.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки: - каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и . Вектор - направляющий вектор прямой.

26. Взаимное расположение прямых в пространстве R3.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать онаправляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

27. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R3.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.