В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое - ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или - ∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f (x) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или - ∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f (x) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ или lim x → x 0 f (x) = - ∞ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Определение 1

Число A является пределом функции f (x) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f (x) = A .

Определение 2

При x → ∞ предел функции f (x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Пример 1

Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Пример 2

Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f (x) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → - ∞ .

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Определение 3

Число B является пределом функции f (x) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a (x n < a).

Такой предел на письме обозначается как lim x → a - 0 f (x) = B .

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Определение 4

Число B является пределом функции f (x) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a (x n > a).

Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f (x) = B .

Мы можем найти предел функции f (x) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Пример 3

Докажите, что существует конечный предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n < 2:

f (- 2) ; f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; - 0 , 958 ; - 1 , 489 ; - 1 , 747 ; - 1 , 874 ; . . . ; - 1 , 998 ; . . . → - 2

Поскольку приведенная последовательность сводится к - 2 , мы можем записать, что lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7 , 333 ; - 5 , 333 ; - 3 , 833 ; - 2 , 958 ; - 2 , 489 ; - 2 , 247 ; - 2 , 124 ; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2

Данная последовательность также сходится к - 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n < 2 , синие – к x n > 2).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.

Найти предел функции в точке:

Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой

Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.

Пример 47. Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.

Пример 48. Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.

Пример 49. Прямая подстановка x=2 показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0} . Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2) .
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2) .
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.

Пример 50. Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0} .
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.

Пример 51. Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3 находим предел функции в точке

Пример 52. Особенность вида {0/0} раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.

Здесь использовали первый замечательный предел:

и следствия из него


где a и b – произвольные числа.

Пример 53. Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.


Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:

Вычислить предел функции в точке:

Пример 54. Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2) .
Однако числитель дальше содержит (x+2) , а это значит, что при x=-2 граница равна нулю.

Пример 55. Имеем дробную функцию - в числителе разница корней, в знаменателе - поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0} .
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1) .
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке

Пример 56. С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x) , и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби

Пример 57. Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.


На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.

Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.

а. База; определение и основные примеры

Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:

Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.

Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.

Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо

Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.

то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).

Запись будет употребляться вместо

При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать

Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.

Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру

b. Предел функции по базе

Определение 12. Пусть - функция на множестве X; В - база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности

Если А - предел функции по базе В, то пишут

Повторим определение предела по базе в логической символике:

Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:

В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).

Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.

Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:

или, что то же самое,

Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать

Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.

Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого

В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.

Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.

Определение 1. ПустьЕ – бесконечное множество. Если любая окрестностьсодержит точки множестваЕ , отличные от точкиа , тоа называетсяпредельной точкой множестваЕ .

Определение 2. (Генрих Гейне (1821-1881)). Пусть функция
определена на множествеХ иА называетсяпределом функции
в точке(или при
, если для любой последовательности значений аргумента
, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функциисходится к числуА . Пишут:
.

Примеры . 1) Функция
имеет предел, равныйс , в любой точке числовой прямой.

Действительно, для любой точки и любой последовательности значений аргумента
, сходящейся ки состоящей из чисел, отличных от, соответствующая последовательность значений функции имеет вид
, а мы знаем, что эта последовательность сходится кс . Поэтому
.

2) Для функции

.

Это очевидно, так как если
, то и
.

3) Функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке.

Действительно, пусть
и
, причем все– рациональные числа. Тогда
для всехn , поэтому
. Если же
и все– иррациональные числа, то
для всехn , поэтому
. Мы видим, что условия определения 2 не выполняются, поэтому
не существует.

4)
.

Действительно, возьмем произвольную последовательность
, сходящуюся к

числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.

Определение 3. (Коши (1789-1857)). Пусть функция
определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называетсяпределом функции
в точке(или при
, если для любого
найдется
, такое, что для всех значений аргументах , удовлетворяющих неравенству

,

справедливо неравенство

.

Пишут:
.

Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а:

пусть функция
определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называется пределом функции
в точке, если для любой-окрестности точкиА
найдется проколотая- окрестность точки
,такая, что
.

Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.

Пример 5.
.

Действительно, возьмем
произвольно и найдем
, такое, что для всехх , удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
. Последнее неравенство равносильно неравенству
, поэтому видим, что достаточно взять
. Утверждение доказано.

Справедлива

Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство . 1) Пусть
по Коши. Докажем, что это же число является пределом и по Гейне.

Возьмем
произвольно. Согласно определению 3 существует
, такое, что для всех
выполняется неравенство
. Пусть
– произвольная последовательность такая, что
при
. Тогда существует номерN такой, что для всех
выполняется неравенство
, поэтому
для всех
, т.е.

по Гейне.

2) Пусть теперь
по Гейне. Докажем, что
и по Коши.

Предположим противное, т.е. что
по Коши. Тогда существует
такое, что для любого
найдется
,
и
. Рассмотрим последовательность
. Для указанного
и любогоn существует

и
. Это означает, что
, хотя
, т.е. числоА не является пределом
в точкепо Гейне. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Теорема 2 (о единственности предела). Если существует предел функции в точке, то он единственный.

Доказательство . Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.

Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим

Определение 4. Говорят, что функция
удовлетворяет условию Коши в точке, если для любого
существует

, таких, что
и
, выполняется неравенство
.

Теорема 3 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы функция
имела в точкеконечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция удовлетворяла условию Коши.

Доказательство .Необходимость . Пусть
. Надо доказать, что
удовлетворяет в точкеусловию Коши.

Возьмем
произвольно и положим
. По определению предела длясуществует
, такое, что для любых значений
, удовлетворяющих неравенствам
и
, выполняются неравенства
и
. Тогда

Необходимость доказана.

Достаточность . Пусть функция
удовлетворяет в точкеусловию Коши. Надо доказать, что она имеет в точкеконечный предел.

Возьмем
произвольно. По определению 4 найдется
, такое, что из неравенств
,
следует, что
– это дано.

Покажем сначала, что для всякой последовательности
, сходящейся к, последовательность
значений функции сходится. Действительно, если
, то, в силу определения предела последовательности, для заданного
найдется номерN , такой, что для любых

и
. Поскольку
в точкеудовлетворяет условию Коши, имеем
. Тогда по критерию Коши для последовательностей последовательность
сходится. Покажем, что все такие последовательности
сходятся к одному и тому же пределу. Предположим противное, т.е. что есть последовательности
и
,
,
, такие, что. Рассмотрим последовательность. Ясно, что она сходится к, поэтому по доказанному выше последовательностьсходится, что невозможно, так как подпоследовательности
и
имеют разные пределыи. Полученное противоречие показывает, что=. Поэтому по определению Гейне функция имеет в точкеконечный предел. Достаточность, а значит и теорема, доказаны.

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции .

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Определение предела функции

Определение предела функции по Коши

Конечные пределы функции в конечных точках

Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки . в точке , если для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
; ; .

Использование понятия окрестности точки

Если ввести понятие проколотой окрестности точки , то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

Бесконечные пределы функции

Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Предел функции f(x) при x → x 0 равен бесконечности , если для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число δ M > 0 , зависящее от M , что для всех x , принадлежащих проколотой δ M - окрестности точки : , выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Универсальное определение предела функции

Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция определена на некотором множестве X : .
Число a называется пределом функции в точке :
,
если для любой последовательности , сходящейся к x 0 :
,
элементы которой принадлежат множеству X : ,
.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t) при t → t 0 , и он равен x 0 :
.
Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 .
Тогда существует предел сложной функции f(g(t)) , и он равен f(x 0) :
.

Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .

«Свойства бесконечно малых функций ».

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей , если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.